Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
Água escoa a 24 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 200 mm para 100 mm. A pressão no trecho estreito é 140 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p1 no trecho largo.
Q = 24 L/sd1 = 200 mmd2 = 100 mmp2 = 140 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
A água sobe por um tubo que se estreita de 200 mm para 75 mm enquanto sobe 3 m. Na seção 1 a pressão é 340 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 340 kPav1 = 1,5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água escoa com velocidade média de 1,8 m/s em uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
V = 1,8 m/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. A superfície da água do reservatório superior está 12 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 12 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Em um ensaio, uma bomba fornece 25 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 22 m enquanto seu eixo absorve 8,3 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.
Q = 25 L/sH = 22 mPshaft = 8,3 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 13 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 200 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 15 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 235,4 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN
Resposta
F = 235,4 kN
2.Força hidrostática
Resposta: F = 323,7 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,5·6 = 323,7 kN
Resposta
F = 323,7 kN
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p1 = 144,4 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidades
v1 = Q/A1 = 0,024/0,03142 = 0,7639 m/s
v2 = Q/A2 = 0,024/0,007854 = 3,056 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 140 + ½·1000·(3,056² − 0,7639²)/1000 = 140 + 4,377 = 144,4 kPa
Resposta
p1 = 144,4 kPa
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 254,8 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(200/75)² = 10,67 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 10,67²)/1000 = −55,76 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 340 + (−55,76) − 29,43 = 254,8 kPa
Resposta
p2 = 254,8 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: hf = 4,624 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Carga cinética
V²/(2g) = 1,8²/(2·9,81) = 0,1651 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(200/0,2)·1,8²/(2·9,81) = 4,624 m
Resposta
hf = 4,624 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 23,24 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,015·150/0,1 = 22,5
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
12 = (22,5 + 4,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·12/26,9) = 2,958 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 2,958·0,007854 = 0,02324 m³/s = 23,24 L/s
Resposta
Q = 23,24 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: η = 65,01 %
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·22 = 5,396 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 5,396/8,3 = 65,01%
Resposta
η = 65,01%
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 48,82 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 8)·0,1859 = 15,43 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 13 + 20,39 + 15,43 = 48,82 m
Resposta
H = 48,82 m
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