Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade
p = ρgh
Força em uma parede vertical
F = ρg·hc·A
Centro de pressão
yp = yc + Ic/(ycA)
Retângulo
Ic = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Vazão
Q = A·v
Área do círculo
A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento
laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas
hm = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K
entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão
Δp = ρ·g·hf
Dois reservatórios abertos
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo
Pshaft = Ph/ηpump
Potência elétrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Altura manométrica da bomba
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdas do sistema
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia
comportad = 4 mH = 1 m

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
comportad = 3 mH = 3 m

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
Q = ?d = 30 mm, Cd​ = 0,64h = 4,5 m

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 30 mm. O nível da água é mantido 4,5 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,64. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 4,5 mCd = 0,64g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
d1​ = 250 mmd2​ = 125 mm12Δh = 130 mmmercúrioQ = ?

Um medidor Venturi horizontal (entrada de 250 mm, garganta de 125 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 130 mm. O coeficiente de descarga é 0,96. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².

d1 = 250 mmd2 = 125 mmΔh = 130 mmCd = 0,96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Q = 60 L/sD = 200 mmL = 500 mf = 0,022

Água escoa a 60 L/s em uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.

Q = 60 L/sL = 500 mD = 200 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
K = 2Δz = 14 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0,0252× curva (K = 0,3)

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025. A superfície da água do reservatório superior está 14 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 14 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
PQ = 50 L/sH = 80 m

Em um ensaio, uma bomba fornece 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 80 m enquanto seu eixo absorve 52,3 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 50 L/sH = 80 mPshaft = 52,3 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
150 kPa (manométrica)PQ = 120 L/sΔz = 10 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0,018, ΣK = 2,5

Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 10 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 2,5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 150 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 120 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 2,5ptank = 150 kPa
H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 66,22 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
comportad = 4 mH = 1 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·1,5 = 66,22 kN

Resposta

F = 66,22 kN
2.Força hidrostática

Resposta: F = 203,6 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
comportad = 3 mH = 3 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·4,5·4,5 = 203,6 kN

Resposta

F = 203,6 kN
3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 4,251 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,64·0,0007069·9,396 = 0,004251 m³/s = 4,251 L/s

Resposta

Q = 4,251 L/s
4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 68,98 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Diferença de pressão pelo manômetro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,13 = 16069 Pa

Velocidade na garganta

Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.

β = 125/250 = 0,5
v2 = √(2·16069/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,855 m/s

Vazão real

Q = Cd·A2·v2 = 0,96·0,01227·5,855 = 0,06898 m³/s = 68,98 L/s

Resposta

Q = 68,98 L/s
5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: hf = 10,23 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 1,91²/(2·9,81) = 0,1859 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,2)·1,91²/(2·9,81) = 10,23 m

Resposta

hf = 10,23 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 54,29 L/s

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,025·150/0,15 = 25
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

14 = (25 + 4,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·14/29,1) = 3,072 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 3,072·0,01767 = 0,05429 m³/s = 54,29 L/s

Resposta

Q = 54,29 L/s
7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 75,03 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·80 = 39,24 kW

Rendimento

η = Ph/Pshaft = 39,24/52,3 = 75,03%

Resposta

η = 75,03%
8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 28,25 m

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m

Perdas de carga

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,2 + 2,5)·0,3046 = 2,955 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 10 + 15,29 + 2,955 = 28,25 m

Resposta

H = 28,25 m

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