Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 12 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 200 mm para 100 mm. A pressão no trecho estreito é 230 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 12 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 230 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 100 mm e pressão manométrica de 120 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 40 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 120 kPa (manométrica)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 2,8 m/s em uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 2,8 m/sL = 150 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 400 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 60 m. O rendimento da bomba é 78% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 88%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 20 L/sH = 60 mη_pump = 78%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 12 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 85%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 20 L/sΔz = 12 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 6η = 85%

P_shaft = kW

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 51,5 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·3 = 51,5 kN

Resposta

F = 51,5 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 116,5 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,5·3 = 116,5 kN

Resposta

F = 116,5 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 231,1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,012/0,03142 = 0,382 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 230 + ½·1000·(1,528² − 0,382²)/1000 = 230 + 1,094 = 231,1 kPa

Resposta

p₁ = 231,1 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: H = 12,55 m

Velocidade de saída

β = 40/100 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·120000/(1000·0,9744)) = 15,69 m/s

Altura do jato

Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 15,69²/(2·9,81) = 12,55 m

Resposta

H = 12,55 m

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 35,96 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 2,8²/(2·9,81) = 0,3996 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,05)·2,8²/(2·9,81) = 35,96 m

Resposta

h_f = 35,96 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 14,02 m

Velocidade

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·400/0,3 = 26,67

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perda de carga total

h_f = 26,67·0,408 = 10,88 m

h_m = 7,7·0,408 = 3,142 m

Δz = h_f + h_m = 14,02 m

Resposta

Δz = 14,02 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 17,15 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·60 = 11,77 kW

Potência no eixo

P_shaft = 11,77/0,78 = 15,09 kW

Potência elétrica

P_el = 15,09/0,88 = 17,15 kW

Resposta

P_el = 17,15 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 5,974 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 6)·0,3305 = 13,88 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 12 + 13,88 = 25,88 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·25,88/0,85 = 5,974 kW

Resposta

P_shaft = 5,974 kW

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