Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Um tubo de Pitot estático em uma tubulação de água indica uma diferença de 25 kPa entre a pressão de estagnação e a pressão estática. Encontre a velocidade da água v na ponta.

p₀ − p = 25 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 75 mm para 50 mm enquanto sobe 10 m. Na seção 1 a pressão é 290 kPa e a velocidade é 2,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 290 kPav₁ = 2,5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 1,4 m/s em uma tubulação de 1000 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 1,4 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,02) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 5). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 18 m enquanto seu eixo absorve 8,8 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 40 L/sH = 18 mP_shaft = 8,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 5 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 4 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 80%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 30 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 4η = 80%

P_shaft = kW

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 19,62 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·1 = 19,62 kN

Resposta

F = 19,62 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 92,7 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,5·3 = 92,7 kN

Resposta

F = 92,7 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 7,071 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli até o ponto de estagnação

O escoamento para na ponta, então sua energia cinética aparece como pressão adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·25000/1000) = 7,071 m/s

Resposta

v = 7,071 m/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 179,2 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(75/50)² = 5,625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 5,625²)/1000 = −12,7 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−12,7) − 98,1 = 179,2 kPa

Resposta

p₂ = 179,2 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 9,324 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 1,4²/(2·9,81) = 0,0999 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,3)·1,4²/(2·9,81) = 9,324 m

Resposta

h_f = 9,324 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 3,297 m

Velocidade

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·100/0,3 = 6,667

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 6,667 + 6,7)·0,2295 = 3,297 m

Resposta

H = 3,297 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 80,26 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·18 = 7,063 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 7,063/8,8 = 80,26%

Resposta

η = 80,26%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 3,136 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 4)·0,1469 = 3,525 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 5 + 3,525 = 8,525 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,03·8,525/0,8 = 3,136 kW

Resposta

P_shaft = 3,136 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics