Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 50 mm. O nível da água é mantido 1 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,6. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 50 mmh = 1 mC_d = 0,6g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 40 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 3 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 3 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q.

d = 40 mmz_C = +3 mz₂ = −3 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 1 m/s em uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 75 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 1 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025. A superfície da água do reservatório superior está 32 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 32 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 24 m enquanto seu eixo absorve 6,7 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 20 L/sH = 24 mP_shaft = 6,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 22 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 120 L/sΔz = 22 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 29,43 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·1,5 = 29,43 kN

Resposta

F = 29,43 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 28,28 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,25·2,25 = 28,28 kN

Resposta

F = 28,28 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 5,218 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,6·0,001963·4,429 = 0,005218 m³/s = 5,218 L/s

Resposta

Q = 5,218 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 9,641 L/s

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,001257·7,672 = 0,009641 m³/s = 9,641 L/s

Resposta

Q = 9,641 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 4,077 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 1²/(2·9,81) = 0,05097 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,075)·1²/(2·9,81) = 4,077 m

Resposta

h_f = 4,077 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 158,7 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,025·100/0,2 = 12,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

32 = (12,5 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·32/24,6) = 5,052 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 5,052·0,03142 = 0,1587 m³/s = 158,7 L/s

Resposta

Q = 158,7 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 70,28 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·24 = 4,709 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 4,709/6,7 = 70,28%

Resposta

η = 70,28%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 26,26 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (6 + 8)·0,3046 = 4,264 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 22 + 4,264 = 26,26 m

Resposta

H = 26,26 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics