Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.
d = 1,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidade e BernoulliMédia
Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 150 mm e diâmetro da garganta de 75 mm. A pressão na entrada é 56 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 56 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
Um medidor Venturi horizontal (entrada de 150 mm, garganta de 100 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 330 mm. O coeficiente de descarga é 0,98. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².
d1 = 150 mmd2 = 100 mmΔh = 330 mmCd = 0,98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água escoa com velocidade média de 1,3 m/s em uma tubulação de 400 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
V = 1,3 m/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,015) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 120 L/s?
Q = 120 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.Bombas e potência de bombasMédia
Uma bomba com rendimento de 65% fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 62 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo Pshaft necessária, em kW.
Q = 150 L/sH = 62 mη = 65%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 16 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 100 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 100 L/sΔz = 16 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 5ptank = 100 kPa
H = m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 101,2 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·3,75 = 101,2 kN
Resposta
F = 101,2 kN
2.Força hidrostática
Resposta: ycp = 2,042 m
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2·1 = 20,11 kN
Centro de pressão
A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.
Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0,08333/(2·1) = 2,042 m
Resposta
ycp = 2,042 m
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 48,29 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuidade
v1 = v2·(75/150)² = 0,25·v2
Bernoulli entre a entrada e a garganta
O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·56000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,93 m/s
v1 = 2,733 m/s
Vazão
Q = A2·v2 = 0,004418·10,93 = 0,04829 m³/s = 48,29 L/s
Resposta
Q = 48,29 L/s
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 77,61 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Diferença de pressão pelo manômetro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,33 = 40790 Pa
Velocidade na garganta
Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.
β = 100/150 = 0,6667
v2 = √(2·40790/(1000·(1 − 0,1975))) = 10,08 m/s
Vazão real
Q = Cd·A2·v2 = 0,98·0,007854·10,08 = 0,07761 m³/s = 77,61 L/s
Resposta
Q = 77,61 L/s
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: hf = 5,053 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Carga cinética
V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(400/0,15)·1,3²/(2·9,81) = 5,053 m
Resposta
hf = 5,053 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: H = 4,363 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade
V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,015·500/0,3 = 25
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7
Equação da energia
O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.
H = (1 + 25 + 3,7)·0,1469 = 4,363 m
Resposta
H = 4,363 m
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pshaft = 140,4 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·62 = 91,23 kW
Potência no eixo
Pshaft = Ph/η = 91,23/0,65 = 140,4 kW
Resposta
Pshaft = 140,4 kW
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 30,3 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,4 + 5)·0,2115 = 4,104 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 16 + 10,19 + 4,104 = 30,3 m
Resposta
H = 30,3 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics