Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 290 kPa e a velocidade é 1,25 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 290 kPav₁ = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 80 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 50 mm, 2,5 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a velocidade do jato v. Use g = 9,81 m/s².

p_air = 80 kPa (manométrica)h = 2,5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2 m/s em uma tubulação horizontal de 150 m de comprimento e diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 2 m/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,02) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 10 m enquanto seu eixo absorve 18,4 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 150 L/sH = 10 mP_shaft = 18,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 75 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 8 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 4 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 350 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 4p_tank = 350 kPa

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 132,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Resposta

F = 132,4 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 4,519 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4,5·2 = 111,2 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,1667/(4,5·2) = 4,519 m

Resposta

y_cp = 4,519 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 286,8 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(75/50)² = 2,813 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 2,813²)/1000 = −3,174 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 290 + (−3,174) = 286,8 kPa

Resposta

p₂ = 286,8 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 14,46 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(80000/1000 + 9,81·2,5)) = 14,46 m/s

Resposta

v = 14,46 m/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 36 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,15)·2²/(2·9,81) = 3,67 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·3,67 = 36000 Pa = 36 kPa

Resposta

Δp = 36 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 3,662 m

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·150/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 15 + 3,7)·0,1859 = 3,662 m

Resposta

H = 3,662 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 79,97 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·10 = 14,71 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 14,71/18,4 = 79,97%

Resposta

η = 79,97%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 48,11 m

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 4)·0,2905 = 4,43 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 35,68 + 4,43 = 48,11 m

Resposta

H = 48,11 m

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