Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 3 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.
d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidade e BernoulliMédia
Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 20 mm. O nível da água é mantido 1 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,61. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².
d = 20 mmh = 1 mCd = 0,61g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
A água sobe por um tubo que se estreita de 200 mm para 75 mm enquanto sobe 6 m. Na seção 1 a pressão é 190 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 190 kPav1 = 1,5 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2,5 m/s em uma tubulação horizontal de 100 m de comprimento e diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.
V = 2,5 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. A superfície da água do reservatório superior está 11 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 11 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Em um ensaio, uma bomba fornece 25 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 58 m enquanto seu eixo absorve 20,3 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.
Q = 25 L/sH = 58 mPshaft = 20,3 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 15 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 60 L/sΔz = 15 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8
H = m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 55,18 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,75·1,5 = 55,18 kN
Resposta
F = 55,18 kN
2.Força hidrostática
Resposta: ycp = 2,8 m
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN
Centro de pressão
A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.
Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,5 + 2,25/(2,5·3) = 2,8 m
Resposta
ycp = 2,8 m
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 0,8488 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidade ideal do jato
√(2gh) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s
Vazão real
O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,61·0,0003142·4,429 = 0,0008488 m³/s = 0,8488 L/s
Resposta
Q = 0,8488 L/s
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 75,38 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(200/75)² = 10,67 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 10,67²)/1000 = −55,76 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 190 + (−55,76) − 58,86 = 75,38 kPa
Resposta
p2 = 75,38 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δp = 125 kPa
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Perda de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,05)·2,5²/(2·9,81) = 12,74 m
Queda de pressão
A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·12,74 = 125000 Pa = 125 kPa
Resposta
Δp = 125 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 237,6 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,015·300/0,3 = 15
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
11 = (15 + 4,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·11/19,1) = 3,361 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 3,361·0,07069 = 0,2376 m³/s = 237,6 L/s
Resposta
Q = 237,6 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: η = 70,07 %
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·58 = 14,22 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 14,22/20,3 = 70,07%
Resposta
η = 70,07%
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 19,55 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,5 + 8)·0,1859 = 4,555 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.
H = Δz + hL = 15 + 4,555 = 19,55 m
Resposta
H = 19,55 m
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