Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.
d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidade e BernoulliMédia
A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 40 mm. No trecho largo a pressão é 310 kPa e a velocidade é 1,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 310 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
Uma mangueira com diâmetro interno de 50 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 0,5 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 1,5 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q.
d = 50 mmzC = +0,5 mz2 = −1,5 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água escoa a 12 L/s em uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
Q = 12 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,022) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 75 L/s?
Q = 75 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2
H = m
7.Bombas e potência de bombasMédia
Em um ensaio, uma bomba fornece 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 28 m enquanto seu eixo absorve 5,7 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.
Q = 15 L/sH = 28 mPshaft = 5,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 13 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 50 L/sΔz = 13 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 6
H = m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 27,59 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,25·2,25 = 27,59 kN
Resposta
F = 27,59 kN
2.Força hidrostática
Resposta: ycp = 5,349 m
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·5,25·7,5 = 486,7 kN
Centro de pressão
A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.
Ic = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5,25 + 3,906/(5,25·7,5) = 5,349 m
Resposta
ycp = 5,349 m
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 292,6 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(75/40)² = 6,152 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 6,152²)/1000 = −17,39 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 310 + (−17,39) = 292,6 kPa
Resposta
p2 = 292,6 kPa
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 10,65 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidade na mangueira
A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.
v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s
Vazão
Q = A·v = 0,001963·5,425 = 0,01065 m³/s = 10,65 L/s
Resposta
Q = 10,65 L/s
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: hf = 0,3447 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade média
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,012/0,01767 = 0,6791 m/s
Carga cinética
V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,15)·0,6791²/(2·9,81) = 0,3447 m
Resposta
hf = 0,3447 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: H = 5,984 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1
Equação da energia
O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.
H = (1 + 16,5 + 3,1)·0,2905 = 5,984 m
Resposta
H = 5,984 m
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: η = 72,28 %
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·28 = 4,12 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 4,12/5,7 = 72,28%
Resposta
η = 72,28%
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 24,42 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 6)·0,408 = 11,42 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.
H = Δz + hL = 13 + 11,42 = 24,42 m
Resposta
H = 24,42 m
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