Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade
p = ρgh
Força em uma parede vertical
F = ρg·hc·A
Centro de pressão
yp = yc + Ic/(ycA)
Retângulo
Ic = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Vazão
Q = A·v
Área do círculo
A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento
laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas
hm = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K
entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão
Δp = ρ·g·hf
Dois reservatórios abertos
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo
Pshaft = Ph/ηpump
Potência elétrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Altura manométrica da bomba
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdas do sistema
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia
comportad = 1 mH = 3 m

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
comportad = 2,5 mH = 3 m

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 2,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidade e BernoulliMédia
12d1​ = 150 mm, p1​ = 130 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 130 kPa e a velocidade é 1 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 130 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
pair​ = 140 kPaQ = ?d = 40 mmh = 2,5 m

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 140 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 40 mm, 2,5 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

pair = 140 kPa (manométrica)h = 2,5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
V = 0,9 m/sD = 250 mmL = 300 mf = 0,018

Água escoa com velocidade média de 0,9 m/s em uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.

V = 0,9 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
K = 0,2Δz = 20 mL = 100 m, D = 300 mm, f = 0,0253× curva (K = 0,3)

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025. A superfície da água do reservatório superior está 20 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 0,2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 20 mL = 100 mD = 300 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
PQ = 150 L/sH = 16 m

Em um ensaio, uma bomba fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 16 m enquanto seu eixo absorve 27,7 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 150 L/sH = 16 mPshaft = 27,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
150 kPa (manométrica)PQ = 50 L/sΔz = 5 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0,02, ΣK = 5

Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 5 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 150 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 5ptank = 150 kPa
H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 220,7 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
comportad = 1 mH = 3 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·9 = 220,7 kN

Resposta

F = 220,7 kN
2.Força hidrostática

Resposta: ycp = 4,188 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
comportad = 2,5 mH = 3 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4·9 = 310,8 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4 + 6,75/(4·9) = 4,188 m

Resposta

ycp = 4,188 m
3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p2 = 90 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(150/50)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 130 + (−40) = 90 kPa

Resposta

p2 = 90 kPa
4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 22,8 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(140000/1000 + 9,81·2,5)) = 18,14 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,001257·18,14 = 0,0228 m³/s = 22,8 L/s

Resposta

Q = 22,8 L/s
5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: hf = 0,8917 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 0,9²/(2·9,81) = 0,04128 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,25)·0,9²/(2·9,81) = 0,8917 m

Resposta

hf = 0,8917 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 423,5 L/s

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

20 = (8,333 + 2,6)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·20/10,93) = 5,991 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 5,991·0,07069 = 0,4235 m³/s = 423,5 L/s

Resposta

Q = 423,5 L/s
7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 85 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·16 = 23,54 kW

Rendimento

η = Ph/Pshaft = 23,54/27,7 = 85%

Resposta

η = 85%
8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 24,81 m

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s
V²/(2g) = 0,1291 m

Perdas de carga

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0,1291 = 4,519 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 15,29 + 4,519 = 24,81 m

Resposta

H = 24,81 m

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