Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 0,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 100 mm. No trecho largo a pressão é 390 kPa e a velocidade é 2 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 390 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 50 mm e pressão manométrica de 90 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 30 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².
d1 = 50 mmp1 = 90 kPa (manométrica)d2 = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,4 m/s em uma tubulação horizontal de 1000 m de comprimento e diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.
V = 1,4 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,022) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 25 L/s?
Q = 25 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.Bombas e potência de bombasMédia
Uma bomba fornece 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 18 m. O rendimento da bomba é 70% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 95%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica Pel consumida pelo motor, em kW.
Q = 100 L/sH = 18 mηpump = 70%ηmotor = 95%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 5 m mais alta. A tubulação tem 600 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 250 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 6ptank = 250 kPa
H = m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 85,84 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·5 = 85,84 kN
Resposta
F = 85,84 kN
2.Força hidrostática
Resposta: F = 45,32 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3,5·1,5 = 45,32 kN
Resposta
F = 45,32 kN
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 381,9 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(150/100)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 4,5²)/1000 = −8,125 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 390 + (−8,125) = 381,9 kPa
Resposta
p2 = 381,9 kPa
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: H = 10,54 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidade de saída
β = 30/50 = 0,6
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0,8704)) = 14,38 m/s
Altura do jato
Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.
H = v2²/(2g) = 14,38²/(2·9,81) = 10,54 m
Resposta
H = 10,54 m
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δp = 81,67 kPa
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Perda de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,3)·1,4²/(2·9,81) = 8,325 m
Queda de pressão
A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·8,325 = 81667 Pa = 81,67 kPa
Resposta
Δp = 81,67 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: H = 1,945 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade
V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4
Equação da energia
O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.
H = (1 + 14,67 + 3,4)·0,102 = 1,945 m
Resposta
H = 1,945 m
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pel = 26,55 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·18 = 17,66 kW
Potência no eixo
Pshaft = 17,66/0,7 = 25,23 kW
Potência elétrica
Pel = 25,23/0,95 = 26,55 kW
Resposta
Pel = 26,55 kW
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 40,89 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (43,2 + 6)·0,2115 = 10,41 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 25,48 + 10,41 = 40,89 m
Resposta
H = 40,89 m
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