Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.
d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidade e BernoulliMédia
A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 400 kPa e a velocidade é 1 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.
d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 400 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
Um medidor Venturi horizontal (entrada de 100 mm, garganta de 60 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 310 mm. O coeficiente de descarga é 0,97. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².
d1 = 100 mmd2 = 60 mmΔh = 310 mmCd = 0,97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água escoa a 2 L/s em uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
Q = 2 L/sL = 150 mD = 50 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. A superfície da água do reservatório superior está 9 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 9 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Uma bomba com rendimento de 85% fornece 10 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 54 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo Pshaft necessária, em kW.
Q = 10 L/sH = 54 mη = 85%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 5 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 250 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 15 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 6ptank = 250 kPa
H = m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 58,86 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN
Resposta
F = 58,86 kN
2.Força hidrostática
Resposta: ycp = 5,067 m
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·5·2 = 123,6 kN
Centro de pressão
A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.
Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5 + 0,6667/(5·2) = 5,067 m
Resposta
ycp = 5,067 m
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 360 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(150/50)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 400 + (−40) = 360 kPa
Resposta
p2 = 360 kPa
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 25,73 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Diferença de pressão pelo manômetro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,31 = 38318 Pa
Velocidade na garganta
Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.
β = 60/100 = 0,6
v2 = √(2·38318/(1000·(1 − 0,1296))) = 9,383 m/s
Vazão real
Q = Cd·A2·v2 = 0,97·0,002827·9,383 = 0,02573 m³/s = 25,73 L/s
Resposta
Q = 25,73 L/s
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: hf = 2,856 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Velocidade média
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,002/0,001963 = 1,019 m/s
Carga cinética
V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,05)·1,019²/(2·9,81) = 2,856 m
Resposta
hf = 2,856 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 47,83 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,015·200/0,15 = 20
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
9 = (20 + 4,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·9/24,1) = 2,707 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 2,707·0,01767 = 0,04783 m³/s = 47,83 L/s
Resposta
Q = 47,83 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: Pshaft = 6,232 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·54 = 5,297 kW
Potência no eixo
Pshaft = Ph/η = 5,297/0,85 = 6,232 kW
Resposta
Pshaft = 6,232 kW
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 45,54 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 6)·0,1859 = 15,06 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 25,48 + 15,06 = 45,54 m
Resposta
H = 45,54 m
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