Mecânica dos Solos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão efetiva no solo

Tensão total: σ = Σγ_i·h_i
Poropressão: u = γ_w·(z − z_w)
Tensão efetiva: σ′ = σ − u
Água: γ_w = 9,81 kN/m³

Recalque por adensamento

Normalmente adensado: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tensão final: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Pré-adensado, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Pré-adensado, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Razão de pré-adensamento: OCR = σ′_p/σ′₀
Tempo de adensamento: t = T_v·H_dr²/c_v
Caminho de drenagem: H_dr = H/2 (drenagem dupla), H (drenagem simples)
Fatores tempo: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

2Exercícios

1.Tensão efetiva no soloMédia

Para o perfil de solo mostrado, encontre a tensão vertical efetiva σ′ no ponto X.

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³areia: γ_d = 15,5 kN/m³areia: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

2.Tensão efetiva no soloDifícil

Para o perfil de solo mostrado, encontre a poropressão u no ponto X.

z = 8,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³areia: γ_d = 15,5 kN/m³areia: γ_sat = 19 kN/m³argila: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

3.Recalque por adensamentoMédia

Uma camada de argila pré-adensada com 7 m de espessura tem C_c = 0,45, C_r = 0,06 e e₀ = 0,75. Na metade da sua profundidade a tensão vertical efetiva é 70 kPa e a tensão de pré-adensamento é 140 kPa. Um novo edifício acrescenta 45 kPa de tensão vertical na metade da profundidade. Encontre o recalque por adensamento primário S em mm.

H = 7 mC_c = 0,45C_r = 0,06e₀ = 0,75σ′₀ = 70 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 45 kPa

S = mm

4.Recalque por adensamentoDifícil

Uma camada de argila com 7 m de espessura tem coeficiente de adensamento c_v = 4 m²/ano. Ela está entre duas camadas de areia, então a água drena pelo topo e pela base. Para 90% de adensamento médio o fator tempo é T_v = 0,848. Quantos anos t a camada leva para atingir 90% de adensamento?

H = 7 mc_v = 4 m²/anoU = 90%T_v = 0,848drenagem dupla

t = anos

5.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

6.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3Soluções

1.Tensão efetiva no solo

Resposta: σ′ = 71,69 kPa

Tensão efetiva (Terzaghi): o esqueleto do solo suporta σ′ = σ − u. A tensão total σ é o peso de tudo acima do ponto, Σγ·h, usando o peso específico seco acima do lençol freático e o saturado abaixo dele. Abaixo do lençol freático a poropressão é hidrostática: u = γ_w·(profundidade abaixo do lençol freático).

Tensão total

Some o peso de cada faixa de solo acima de X. Acima do lençol freático use o peso específico seco, abaixo o saturado.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·4 + 19,5·1 = 81,5 kPa

Poropressão

A pressão da água cresce com a profundidade abaixo do lençol freático.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Tensão efetiva

σ′ = σ − u = 81,5 − 9,81 = 71,69 kPa

Resposta

σ′ = 71,69 kPa

2.Tensão efetiva no solo

Resposta: u = 63,77 kPa

Poropressão

A pressão da água cresce com a profundidade abaixo do lençol freático.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6,5 = 63,77 kPa

Resposta

u = 63,77 kPa

3.Recalque por adensamento

Resposta: S = 51,74 mm

Adensamento primário de uma camada de argila de espessura H, usando a tensão efetiva no meio da camada: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Argila normalmente adensada: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Uma argila pré-adensada se recomprime segundo C_r até a tensão de pré-adensamento σ′_p e só segue C_c além dela. Tempo: t = T_v·H_dr²/c_v, em que o caminho de drenagem H_dr é H/2 quando a água pode sair pelo topo e pela base, e H quando só um lado drena.

Comparar com a tensão de pré-adensamento

σ′_f = 70 + 45 = 115 kPa ≤ 140 kPa

Recalque

A argila permanece na sua reta de recompressão.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·7/(1 + 0,75)·log₁₀(115/70) = 51,74 mm

Resposta

S = 51,74 mm

4.Recalque por adensamento

Resposta: t = 2,597 anos

Caminho de drenagem

H_dr = H/2 = 7/2 = 3,5 m

Tempo

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·3,5²/4 = 2,597 anos

Resposta

t = 2,597 anos

5.Força hidrostática

Resposta: F = 98,1 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4 = 98,1 kN

Resposta

F = 98,1 kN

6.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 5,636 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·5,5·3 = 203,9 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,5 + 2,25/(5,5·3) = 5,636 m

Resposta

y_cp = 5,636 m

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