Tensão efetiva no solo
- Tensão total
- σ = Σγi·hi
- Poropressão
- u = γw·(z − zw)
- Tensão efetiva
- σ′ = σ − u
- Água
- γw = 9,81 kN/m³
Mecânica dos Solos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Recalque por adensamento
- Normalmente adensado
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Tensão final
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Pré-adensado, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Pré-adensado, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Razão de pré-adensamento
- OCR = σ′p/σ′0
- Tempo de adensamento
- t = Tv·Hdr²/cv
- Caminho de drenagem
- Hdr = H/2 (drenagem dupla), H (drenagem simples)
- Fatores tempo
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
2Exercícios
1.Tensão efetiva no soloMédia
Para o perfil de solo mostrado, encontre a tensão vertical efetiva σ′ no ponto X.
z = 10 mzw = 4 mγw = 9,81 kN/m³areia: γd = 15,5 kN/m³areia: γsat = 20,5 kN/m³
σ′ = kPa
2.Tensão efetiva no soloDifícil
Para o perfil de solo mostrado, encontre a tensão vertical total σ no ponto X.
z = 6,5 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³areia: γd = 16,5 kN/m³areia: γsat = 18,5 kN/m³argila: γsat = 17 kN/m³
σ = kPa
3.Recalque por adensamentoMédia
Uma camada de argila pré-adensada com 7,5 m de espessura tem Cc = 0,5, Cr = 0,04 e e₀ = 0,85. Na metade da sua profundidade a tensão vertical efetiva é 70 kPa e a razão de pré-adensamento é OCR = 3. Um novo edifício acrescenta 40 kPa de tensão vertical na metade da profundidade. Encontre o recalque por adensamento primário S em mm.
H = 7,5 mCc = 0,5Cr = 0,04e0 = 0,85σ′0 = 70 kPaOCR = 3Δσ = 40 kPa
S = mm
4.Recalque por adensamentoDifícil
Em um ensaio de adensamento em laboratório (oedômetro), um corpo de prova de argila com 25 mm de espessura, drenado no topo e na base, atinge 50% de adensamento em 4 min. Em campo, a mesma argila forma uma camada de 6,5 m de espessura. Ela está entre duas camadas de areia, então a água drena pelo topo e pela base. Quantos dias t a camada em campo leva para atingir 50% de adensamento?
hlab = 25 mmtlab = 4 minH = 6,5 mcampo: drenagem dupla
t = dias
5.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.
d = 0,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3Soluções
1.Tensão efetiva no solo
Resposta: σ′ = 126,1 kPa
Tensão efetiva (Terzaghi): o esqueleto do solo suporta σ′ = σ − u. A tensão total σ é o peso de tudo acima do ponto, Σγ·h, usando o peso específico seco acima do lençol freático e o saturado abaixo dele. Abaixo do lençol freático a poropressão é hidrostática: u = γw·(profundidade abaixo do lençol freático).
Tensão total
Some o peso de cada faixa de solo acima de X. Acima do lençol freático use o peso específico seco, abaixo o saturado.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15,5·4 + 20,5·6 = 185 kPa
Poropressão
A pressão da água cresce com a profundidade abaixo do lençol freático.
u = γw·(z − zw) = 9,81·6 = 58,86 kPa
Tensão efetiva
σ′ = σ − u = 185 − 58,86 = 126,1 kPa
Resposta
σ′ = 126,1 kPa
2.Tensão efetiva no solo
Resposta: σ = 111 kPa
Tensão efetiva (Terzaghi): o esqueleto do solo suporta σ′ = σ − u. A tensão total σ é o peso de tudo acima do ponto, Σγ·h, usando o peso específico seco acima do lençol freático e o saturado abaixo dele. Abaixo do lençol freático a poropressão é hidrostática: u = γw·(profundidade abaixo do lençol freático).
Tensão total
Some o peso de cada faixa de solo acima de X. Acima do lençol freático use o peso específico seco, abaixo o saturado.
σ = γd·2 + γsat,sand·1 + γsat,clay·3,5
σ = 16,5·2 + 18,5·1 + 17·3,5 = 111 kPa
Resposta
σ = 111 kPa
3.Recalque por adensamento
Resposta: S = 31,83 mm
Adensamento primário de uma camada de argila de espessura H, usando a tensão efetiva no meio da camada: σ′f = σ′0 + Δσ. Argila normalmente adensada: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Uma argila pré-adensada se recomprime segundo Cr até a tensão de pré-adensamento σ′p e só segue Cc além dela. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, em que o caminho de drenagem Hdr é H/2 quando a água pode sair pelo topo e pela base, e H quando só um lado drena.
Tensão de pré-adensamento
σ′p = OCR·σ′0 = 3·70 = 210 kPa
Comparar com a tensão de pré-adensamento
σ′f = 70 + 40 = 110 kPa ≤ 210 kPa
Recalque
A argila permanece na sua reta de recompressão.
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0,04·7,5/(1 + 0,85)·log₁₀(110/70) = 31,83 mm
Resposta
S = 31,83 mm
4.Recalque por adensamento
Resposta: t = 187,8 dias
Adensamento primário de uma camada de argila de espessura H, usando a tensão efetiva no meio da camada: σ′f = σ′0 + Δσ. Argila normalmente adensada: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Uma argila pré-adensada se recomprime segundo Cr até a tensão de pré-adensamento σ′p e só segue Cc além dela. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, em que o caminho de drenagem Hdr é H/2 quando a água pode sair pelo topo e pela base, e H quando só um lado drena.
Caminhos de drenagem
Hdr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m
Hdr,field = 6,5/2 = 3,25 m
Escalar o tempo
t = Tv·Hdr²/cv com os mesmos T_v e cv no laboratório e em campo.
tfield = 4·(3,25/0,0125)² = 270400 min
tfield = 270400/1440 = 187,8 dias
Resposta
t = 187,8 dias
5.Força hidrostática
Resposta: F = 143,5 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·4,5 = 143,5 kN
Resposta
F = 143,5 kN
6.Força hidrostática
Resposta: ycp = 2,375 m
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2·6 = 148,3 kN
Centro de pressão
A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.
Ic = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 4,5/(2·6) = 2,375 m
Resposta
ycp = 2,375 m
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