Tensão e deformação axial
- Tensão normal
- σ = F/A
- Deformação
- ε = ΔL/L
- Lei de Hooke
- σ = E·ε
- Alongamento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformação térmica
- εT = α·ΔT
Resistência dos Materiais: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Torção de eixos
- Tensão de cisalhamento
- τ = T·r/J
- Eixo maciço
- J = πd⁴/32
- Eixo vazado
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ângulo de torção
- φ = TL/(GJ)
- Potência
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
- Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
- Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
- Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.
Esforço cortante e momento fletor
- Cortante e momento
- V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
- Tensão de flexão
- σ = M·y/I
- Retângulo
- I = bh³/12
- Módulo de resistência
- W = I/ymax
- Viga biapoiada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
- Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
- Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
- Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.
Centroide e momento de inércia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Retângulo
- I = bh³/12
- Teorema dos eixos paralelos
- I = Ic + A·d²
- Seção composta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr e transformação de tensões
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Raio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensões principais
- σ1,2 = C ± R
- Direção principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
- Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Deflexão da viga
- Carga concentrada no meio do vão
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoiada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Balanço, carga na ponta
- δ = PL³/(3EI)
- Balanço, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposição
- δ = δ1 + δ2
Flambagem de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Fator de comprimento efetivo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
- Tensão crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercícios
1.Tensão e deformação axialMédia
Encontre o alongamento δ da barra de alumínio sob a carga axial.
P = 70 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Tensão e deformação axialDifícil
A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σmax na barra.
P = 30 kNtrecho 1: Ø30 mm, 0,5 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Torção de eixosMédia
Um eixo maciço de alumínio com 1,2 m de comprimento suporta um torque de 400 N·m. O ângulo de torção entre suas extremidades não pode passar de 1°. Encontre o menor diâmetro d que atende a esse limite.
T = 400 N·mL = 1,2 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.Torção de eixosDifícil
Um eixo maciço de latão com diâmetro 20 mm está fixo a paredes rígidas nas duas extremidades A e B. Um torque de 250 N·m é aplicado em C, a 2 m de A e a 2,5 m de B. Encontre o torque de reação TA na parede A.
d = 20 mmT0 = 250 N·ma = 2 mb = 2,5 m
TA = N·m
5.Esforço cortante e momento fletorMédia
A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M0 = 40 kN·m em x = 5 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor Mx logo à direita do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
L = 10 mM0 = 40 kN·m no sentido horário, em 5 m
Mx = kN·m
6.Esforço cortante e momento fletorDifícil
As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.
40 kN @ 6 m40 kN @ 1 m5 kN/m, 0–5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.Centroide e momento de inérciaMédia
Uma placa de 200 mm × 150 mm tem um furo circular de diâmetro 30 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 60 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.
b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro do furo: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inérciaDifícil
A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 15 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σtopo na borda superior.
bf = 140 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 240 mmM = 15 kN·m
σtopo = MPa
9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia
Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 40 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θp do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.
σx = 40 MPaσy = 90 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil
Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σθ em um plano cuja normal está girada 60° no sentido anti-horário a partir do eixo x.
σx = −30 MPaσy = 30 MPaτxy = 20 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Deflexão da vigaMédia
Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δmax, no meio do vão.
w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Deflexão da vigaDifícil
Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia Ireq que atende a esse limite.
w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Flambagem de pilaresMédia
Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.
L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Flambagem de pilaresDifícil
Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σcr pela fórmula de Euler.
L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 40 mm
σcr = MPa
3Soluções
1.Tensão e deformação axial
Resposta: δ = 38,2 mm
Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).
Tensão
A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 70·1000/78,54 = 891,3 MPa
Deformação (lei de Hooke)
E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 891,3/70000 = 0,01273 = 12732 µε
Alongamento
δ = ε·L = 0,01273·3000 mm = 38,2 mm
Resposta
δ = 38,2 mm
2.Tensão e deformação axial
Resposta: σmax = 95,49 MPa
Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.
A mesma força nos dois trechos
A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 42,44 MPa
σ2 = 95,49 MPa
Maior tensão
O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.
σmax = 95,49 MPa
Resposta
σmax = 95,49 MPa
3.Torção de eixos
Resposta: d = 57,29 mm
Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.
Momento polar necessário
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0,01745 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·1200/(26000·0,01745) = 1,058 × 10⁶ mm⁴
Diâmetro
d = (32J/π)1/4 = 57,29 mm
Resposta
d = 57,29 mm
Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.
4.Torção de eixos
Resposta: TA = 138,9 N·m
Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω. Quando as duas extremidades estão fixas, a estática sozinha dá apenas TA + TB = T₀; a segunda equação é a compatibilidade (torções iguais das duas partes na seção carregada).
Equilíbrio e compatibilidade
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·2,5/4,5 = 138,9 N·m
TB = 250·2/4,5 = 111,1 N·m
Resposta
TA = 138,9 N·m
5.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: Mx = 20 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.
Reações de apoio
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: RB·L − M0 = 0. Equilíbrio vertical: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 40/10 = 4 kN (para cima)
RA = −RB = −4 kN (para baixo)
Corte logo à direita do binário
A parte esquerda agora contém RA e o binário.
Mx = RA·a + M0 = −4·5 + 40 = 20 kN·m
Resposta
Mx = 20 kN·m
6.Esforço cortante e momento fletor
Resposta: F (x = 5 m)
Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.
Reações de apoio
Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.
R1 = 36,5 kN, R2 = 68,5 kN
Momento fletor em cada marca
Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.
MA = 0, MB = 34, MC = 23, MD = 7, ME = −14, MF = −40 kN·m, MG = 0
Resposta
Marca F: MF = −40 kN·m
7.Centroide e momento de inércia
Resposta: Ix = 56,05 × 10⁶ mm⁴
Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (30000·75 − 706,9·60)/(30000 − 706,9) = 75,36 mm
Placa inteira em torno de ȳ
200·150³/12 + 30000·−0,362² = 56,25 × 10⁶ mm⁴
Furo em torno de ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·−15,36² = 0,2066 × 10⁶ mm⁴
Subtraia
Ix = 56,05 × 10⁶ mm⁴
Resposta
Ix = 56,05 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inércia
Resposta: σtopo = 24,18 MPa
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.
Divida em dois retângulos
Meça todo y a partir da borda inferior.
mesa: Af = 140·25 = 3500 mm², yf = 240 + 25/2 = 252,5 mm
alma: Aw = 16·240 = 3840 mm², yw = 240/2 = 120 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3500·252,5 + 3840·120)/7340 = 183,2 mm
Teorema dos eixos paralelos
mesa: 140·25³/12 + 3500·(252,5 − 183,2)² = 1,7 × 10⁷ mm⁴
alma: 16·240³/12 + 3840·(120 − 183,2)² = 3,376 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,7 × 10⁷ + 3,376 × 10⁷ = 5,076 × 10⁷ mm⁴
Tensão de flexão
A borda superior está a h − ȳ do eixo.
y = 265 − 183,2 = 81,82 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·81,82/5,076 × 10⁷ = 24,18 MPa
Resposta
σtopo = 24,18 MPa
9.Círculo de Mohr e transformação de tensões
Resposta: θp = −58,28 °
Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Ângulo no círculo
No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−50, 40 − 90) = −116,6°
Ângulo no elemento
θp = −58,28°
Resposta
θp = −58,28°
Ângulos positivos são no sentido anti-horário.
10.Círculo de Mohr e transformação de tensões
Resposta: σθ = 32,32 MPa
Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Equação de transformação
σθ = 0 + −30·−0,5 + 20·0,866 = 32,32 MPa
Resposta
σθ = 32,32 MPa
11.Deflexão da viga
Resposta: δmax = 24,11 mm
Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).
Unidades consistentes
Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.
w = 12 N/mm, L = 6000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²
Deflexão
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 24,11 mm
Resposta
δmax = 24,11 mm
12.Deflexão da viga
Resposta: Ireq = 4,185 × 10⁶ mm⁴
Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).
Limite de deflexão
δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm
Momento de inércia necessário
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·2500⁴/(384·70000·6,944) = 4,185 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 4,185 × 10⁶ mm⁴
Resposta
Ireq = 4,185 × 10⁶ mm⁴
13.Flambagem de pilares
Resposta: Pcr = 109,9 kN
Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.
Menor momento de inércia
Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
Comprimento efetivo
KL = 1·2000 = 2000 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN
Resposta
Pcr = 109,9 kN
14.Flambagem de pilares
Resposta: σcr = 62,66 MPa
Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.
Menor momento de inércia
Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Raio de giração e esbeltez
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/10 = 105
Tensão crítica
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa
Resposta
σcr = 62,66 MPa
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