Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de latão, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 30 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio com diâmetro 50 mm está fixo em A. Um torque de 400 N·m atua em B, a 2,5 m de A, e um torque de 1500 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 1,2 m adiante. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

d = 50 mmT_B = 400 N·mT_C = 1500 N·mAB = 2,5 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 10 kN/m de 0 a 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 55 kN em 1,5 mw = 4 kN/m de 0 a 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 60 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 105 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 300 mmd = 60 mmcentro do furo: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 120 mm × 300 mm tem um recorte retangular de 80 mm de largura e 40 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 210 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 300 mmrecorte: 80 × 40 mmcentro do furo: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 130 MPa e σᵧ = −50 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 180 MPa?

σ_x = 130 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 180 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 0 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = 0 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 1,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 29 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1 m do apoio B. Encontre a deflexão δ_mid no meio do vão.

P = 20 kNb = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (alumínio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 1273 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/706,9 = 127,3 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/100000 = 0,001273 = 1273 µε

Resposta

ε = 1273 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 95,49 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 61,12 MPa

σ₂ = 95,49 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 95,49 MPa

Resposta

σ_max = 95,49 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 0,7124 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(80000·251327) = 0,01243 rad

φ = 0,01243·180/π = 0,7124°

Resposta

φ = 0,7124°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 61,12 MPa

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 400 = 1100 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O trecho com o maior torque interno tem a maior tensão (mesmo diâmetro).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1,5 × 10⁶/(π·50³) = 61,12 MPa

Resposta

τ_max = 61,12 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 75 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Corte em x = 5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 40·5 − 10·5·2,5 = 75 kN·m

Resposta

M_x = 75 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 68,25 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1,5 + 4·5·2,5

R_B = 132,5/5 = 26,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 26,5 = 48,5 kN

Corte em x = 1,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 48,5·1,5 − 4·1,5·0,75 = 68,25 kN·m

Resposta

M_x = 68,25 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 263,2 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·150 − 2827·105)/(36000 − 2827) = 153,8 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·300³/12 + 36000·−3,836² = 270,5 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−48,84² = 7,379 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 263,2 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 263,2 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 256,9 × 10⁶ mm⁴

Centroide

ȳ = (36000·150 − 3200·210)/(36000 − 3200) = 144,1 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·300³/12 + 36000·5,854² = 271,2 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

80·40³/12 + 3200·65,85² = 14,3 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 256,9 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 256,9 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 107,2 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio necessário

C = (130 + (−50))/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 180 − 40 = 140 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(140² − 90²) = 107,2 MPa

Resposta

τ_xy = 107,2 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = −15,2 MPa

Equação de transformação

σ_θ = −10 + 10·0,766 + 20·−0,6428 = −15,2 MPa

Resposta

σ_θ = −15,2 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 25,75 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 29000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 29000·1500²·2500²/(3·1,32 × 10¹²·4000) = 25,75 mm

Resposta

δ_P = 25,75 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_mid = 51,59 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 20000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão no meio do vão

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 20000·1000·(3·6000² − 4·1000²)/(48·8,4 × 10¹¹) = 51,59 mm

Resposta

δ_mid = 51,59 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 13,25 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13,25 kN

Resposta

P_cr = 13,25 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 11,05 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Resposta

σ_cr = 11,05 MPa

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