Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 25 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de latão (diâmetro 50 mm, comprimento 200 mm, E = 100 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,4 mm no total.

trecho 1: aço, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 300 mm, E = 200 GPa) e um trecho de alumínio (diâmetro 50 mm, comprimento 200 mm, E = 70 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 20 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPatrecho 2: alumínio, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Em um ensaio de torção, um corpo de prova maciço de diâmetro 20 mm é torcido por um torque de 20 N·m. As duas extremidades de um comprimento de referência de 250 mm giram 0,7° uma em relação à outra (o material ainda está no regime elástico). Encontre o módulo de elasticidade transversal G do material.

T = 20 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0,7°

G = GPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 20 kW a 1450 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,6 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 75 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 20 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 6 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre a distância x_c de A até o ponto de inflexão entre os apoios (onde o momento fletor muda de sinal).

L = 9 mw = 3 kN/m de 0 a 9 mapoios em x = 0 e x = 8 m

x_c = m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 120 mm de largura e 24 mm de espessura, altura total de 340 mm e alma de 12 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 120 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão máxima σ_max na seção.

B = 120 mmH = 340 mmt_f = 24 mmt_w = 12 mmM = 120 kN·m

σ_max = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 60 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −80 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 100 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/360. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 1,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 100 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 35 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 35 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 78,54 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1963) = 1,019 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/5,093 × 10⁻⁶ = 78540 N = 78,54 kN

Resposta

P = 78,54 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 4,59 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 70000·1963/200 = 687223 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 20000·687223/1,525 × 10⁶ = 9013 N

Tensão

σ₂ = 9013/1963 = 4,59 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 4,59 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: G = 26,05 GPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar e ângulo

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,7·π/180 = 0,01222 rad

Módulo de cisalhamento

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·250/(15708·0,01222) = 26054 MPa

G = 26,05 GPa

Resposta

G = 26,05 GPa

Compare: aço ≈ 80 GPa, latão ≈ 39 GPa, alumínio ≈ 26 GPa.

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 21,74 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 131,7 N·m = 131714 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·131714/(π·75·0,8704)) = 21,74 mm

d_i = 0,6·21,74 = 13,04 mm

Resposta

d_o = 21,74 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 20,76 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 44,17 kN, R₂ = 30,83 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 88,33, M_C = 136,7, M_D = 185 kN·m, M_E = 123,3, M_F = 61,67, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 185 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: x_c = 7,875 m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·9 = 27 kN, atuando em x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·9·4,5

R_B = 121,5/8 = 15,19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 15,19 = 11,81 kN

Momento nulo

Entre os apoios M(x) = R_A·x − w·x²/2. Além de x = 0, ele é zero em x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·11,81/3 = 7,875 m

Resposta

x_c = 7,875 m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 102,1 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

alma: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·295 + 5040·140)/11640 = 227,9 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 220·30³/12 + 6600·(295 − 227,9)² = 3,022 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·280³/12 + 5040·(140 − 227,9)² = 7,186 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,022 × 10⁷ + 7,186 × 10⁷ = 1,021 × 10⁸ mm⁴ = 102,1 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 102,1 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_max = 120,7 MPa

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 340 − 2·24 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·340³ − 108·292³)/12

I_x = 1,69 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 170 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·170/1,69 × 10⁸ = 120,7 MPa

Resposta

σ_max = 120,7 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −63,43 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 60 − 90) = −126,9°

Ângulo no elemento

θ_p = −63,43°

Resposta

θ_p = −63,43°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = −92,94 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −−85·−0,6428 + −50·0,766 = −92,94 MPa

Resposta

τ_θ = −92,94 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,002963 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 8·4000³/(24·7,2 × 10¹²) = 0,002963 rad

Resposta

θ_A = 0,002963 rad

Isso equivale a 0,1698°.

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 212,4 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 7,99 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·7,99 × 10⁷/100)^1/3 = 212,4 mm

Resposta

h_req = 212,4 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 5,757 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2000² = 5757 N = 5,757 kN

Resposta

P_cr = 5,757 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 37,75 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 37,75 mm

Resposta

d = 37,75 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 158,9, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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