Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de latão (diâmetro 30 mm, comprimento 500 mm, E = 100 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,2 mm no total.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 115 kNtrecho 1: Ø30 mm, 1,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 1,5 m, aço (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado de latão (diâmetro externo 80 mm, diâmetro interno 40 mm, comprimento 1,2 m) está fixo em uma extremidade e é torcido por um torque de 1500 N·m na outra. Encontre o ângulo de torção φ em graus.

T = 1500 N·md_o = 80 mmd_i = 40 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio com diâmetro 40 mm está fixo em A. Um torque de 1500 N·m atua em B, a 0,8 m de A, e um torque de 200 N·m no mesmo sentido atua na extremidade livre C, 1,5 m adiante. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

d = 40 mmT_B = 1500 N·mT_C = 200 N·mAB = 0,8 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 10 mP₁ = 20 kN em 2 mP₂ = 10 kN em 9 m

M_max = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 2,5 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor positivo máximo M_max entre os apoios.

L = 10,5 mw = 10 kN/m de 0 a 10,5 mapoios em x = 0 e x = 8 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um tubo circular tem diâmetro externo D = 260 mm e diâmetro interno d = 228 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

D = 260 mmd = 228 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 10 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmM = 10 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = −50 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = −30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 130 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Encontre a tensão equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 130 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPa

σ_vM = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 20 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 20,2 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706,9) = 7,074 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,2/9,903 × 10⁻⁶ = 20196 N = 20,2 kN

Resposta

P = 20,2 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 8,846 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 162,7 MPa

σ₂ = 1017 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 162,7·1500/200000 = 1,22 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 1017·1500/200000 = 7,626 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,846 mm

Resposta

δ = 8,846 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 0,7015 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

Ângulo de torção

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·1200/(39000·3,77 × 10⁶) = 0,01224 rad

φ = 0,01224·180/π = 0,7015°

Resposta

φ = 0,7015°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 135,3 MPa

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 1500 = 1700 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O trecho com o maior torque interno tem a maior tensão (mesmo diâmetro).

|T|_max = 1700 N·m

τ_max = 16·1,7 × 10⁶/(π·40³) = 135,3 MPa

Resposta

τ_max = 135,3 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 34 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·2 + 10·9

R_B = 130/10 = 13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 13 = 17 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·2 = 17·2 = 34 kN·m

sob P₂: M = R_B·1 = 13·1 = 13 kN·m

Maior valor

M_max = 34 kN·m (sob P₁)

Resposta

M_max = 34 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 65,14 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·10,5 = 105 kN, atuando em x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·10,5·5,25

R_B = 551,3/8 = 68,91 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 68,91 = 36,09 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 36,09/10 = 3,609 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 36,09²/(2·10) = 65,14 kN·m

Resposta

M_max = 65,14 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 86,45 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

A = π(D² − d²)/4 = 12265 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 9,167 × 10⁷ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(9,167 × 10⁷/12265) = 86,45 mm

Resposta

r = 86,45 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 21,57 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

alma: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·170 + 2560·80)/7360 = 138,7 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 240·20³/12 + 4800·(170 − 138,7)² = 4,864 × 10⁶ mm⁴

alma: 16·160³/12 + 2560·(80 − 138,7)² = 1,428 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,864 × 10⁶ + 1,428 × 10⁷ = 1,914 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 180 − 138,7 = 41,3 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·41,3/1,914 × 10⁷ = 21,57 MPa

Resposta

σ_topo = 21,57 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 78,1 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = 30 MPa, R = √((−60)² + (−50)²) = 78,1 MPa

σ₁ = 108,1 MPa, σ₂ = −48,1 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(156,2, 108,1, 48,1)/2 = 78,1 MPa

Resposta

τ_abs = 78,1 MPa

Aqui σ₁ e σ₂ têm sinais opostos, então o máximo no plano R também é o máximo absoluto.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_vM = 142,1 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 55 MPa, R = 75,66 MPa

σ₁ = 130,7 MPa, σ₂ = −20,66 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(130,7² − 130,7·(−20,66) + (−20,66)²) = 142,1 MPa

Resposta

σ_vM = 142,1 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 20,84 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 20,84 mm

Resposta

δ_max = 20,84 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 44,56 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 20000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·2000³/(48·9,35 × 10¹⁰) = 35,65 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2000⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 8,913 mm

Some

δ_max = 35,65 + 8,913 = 44,56 mm

Resposta

δ_max = 44,56 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 8,97 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1750² = 8970 N = 8,97 kN

Resposta

P_cr = 8,97 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 11,05 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/5 = 250

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Resposta

σ_cr = 11,05 MPa

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