Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal
σ = F/A
Deformação
ε = ΔL/L
Lei de Hooke
σ = E·ε
Alongamento
ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica
εT = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento
τ = T·r/J
Eixo maciço
J = πd⁴/32
Eixo vazado
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção
φ = TL/(GJ)
Potência
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
  2. Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
  3. Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
  4. Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro
C = (σx + σy)/2
Raio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensões principais
σ1,2 = C ± R
Direção principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
  4. Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia
Ø 10 mmAço3 mP = 55 kN

Encontre o alongamento δ da barra de aço sob a carga axial.

P = 55 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Tensão e deformação axialDifícil
Ø 35 mmAlumínio1 mØ 12 mmLatão0,5 mP = 55 kN

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 55 kNtrecho 1: Ø35 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 0,5 m, latão (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torção de eixosMédia
do​ = ?T = 250 N·m

Um eixo vazado deve suportar um torque de 250 N·m. Seu diâmetro interno deve ser 0,75 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 80 MPa. Encontre o menor diâmetro externo do.

T = 250 N·mdi/do = 0,75τallow = 80 MPa
do = mm
4.Torção de eixosDifícil
d = 30 mmT0​ = 250 N·mACBa = 2,5 mb = 0,5 m

Um eixo maciço de aço com diâmetro 30 mm está fixo a paredes rígidas nas duas extremidades A e B. Um torque de 250 N·m é aplicado em C, a 2,5 m de A e a 0,5 m de B. Encontre o torque de reação TA na parede A.

d = 30 mmT0 = 250 N·ma = 2,5 mb = 0,5 m
TA = N·m
5.Esforço cortante e momento fletorMédia
6 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

45 kN @ 3 m6 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Esforço cortante e momento fletorDifícil
6 kN/m25 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

25 kN @ 12 m10 kN @ 6 m6 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Centroide e momento de inérciaMédia
2202010020xdimensões em mm

Encontre o momento de inércia Ix da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

bf = 220 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inérciaDifícil
100 mm240 mm96 mm40 × 30xIx​ = ?

Uma placa de 100 mm × 240 mm tem um recorte retangular de 40 mm de largura e 30 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 96 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 100 mmh = 240 mmrecorte: 40 × 30 mmcentro do furo: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia
σx​ = −70σy​ = 70τxy​ = −20MPa

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −70 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τmax.

σx = −70 MPaσy = 70 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil
σx​τxy​superfície do eixo

Um eixo maciço de diâmetro 30 mm suporta uma força axial de compressão de 90 kN junto com um torque de 400 N·m. Na superfície do eixo, encontre a maior tensão principal σ1.

d = 30 mmF = −90 kNT = 400 N·m
σ1 = MPa
11.Deflexão da vigaMédia
w = 12 kN/mABθ6 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θA da viga no apoio A, em radianos.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (aço)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Deflexão da vigaDifícil
w = 3 kN/mABδ4 m

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 75 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/360. Encontre a menor altura hreq da seção.

w = 3 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 75 mm
hreq = mm
13.Flambagem de pilaresMédia
PL = 5 md = 50 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Flambagem de pilaresDifícil
PL = 2 md = 80 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σcr pela fórmula de Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 80 mm
σcr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 10,5 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 55·1000/78,54 = 700,3 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 700,3/200000 = 0,003501 = 3501 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,003501·3000 mm = 10,5 mm

Resposta

δ = 10,5 mm
2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 3,248 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 57,17 MPa
σ2 = 486,3 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ1 = σ1L1/E1 = 57,17·1000/70000 = 0,8167 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 486,3·500/100000 = 2,432 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,248 mm

Resposta

δ = 3,248 mm
3.Torção de eixos

Resposta: do = 28,55 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·80·0,6836)) = 28,55 mm
di = 0,75·28,55 = 21,42 mm

Resposta

do = 28,55 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 25,15 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

4.Torção de eixos

Resposta: TA = 41,67 N·m

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω. Quando as duas extremidades estão fixas, a estática sozinha dá apenas TA + TB = T₀; a segunda equação é a compatibilidade (torções iguais das duas partes na seção carregada).

Equilíbrio e compatibilidade

TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·0,5/3 = 41,67 N·m
TB = 250·2,5/3 = 208,3 N·m

Resposta

TA = 41,67 N·m
5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 3 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 40 kN, R2 = 35 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = 37, MC = 68, MD = 93 kN·m, ME = 67, MF = 35, MG = 0

Resposta

Marca D: MD = 93 kN·m
6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 14 kN, R2 = 69 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = 16, MC = 8, MD = −24, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0

Resposta

Marca E: ME = −100 kN·m
7.Centroide e momento de inércia

Resposta: Ix = 6,763 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: Af = 220·20 = 4400 mm², yf = 100 + 20/2 = 110 mm
alma: Aw = 20·100 = 2000 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4400·110 + 2000·50)/6400 = 91,25 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 220·20³/12 + 4400·(110 − 91,25)² = 1,694 × 10⁶ mm⁴
alma: 20·100³/12 + 2000·(50 − 91,25)² = 5,07 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,694 × 10⁶ + 5,07 × 10⁶ = 6,763 × 10⁶ mm⁴ = 6,763 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ix = 6,763 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inércia

Resposta: Ix = 114,4 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (24000·120 − 1200·96)/(24000 − 1200) = 121,3 mm

Placa inteira em torno de ȳ

100·240³/12 + 24000·−1,263² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

40·30³/12 + 1200·−25,26² = 0,8559 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

Ix = 114,4 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ix = 114,4 × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τmax = 72,8 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

στxyCτmax​

Raio do círculo de Mohr

τmax = R = √(((−70 − 70)/2)² + −20²) = 72,8 MPa

Resposta

τmax = 72,8 MPa
10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ1 = 35,06 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Tensões na superfície

σ = F/A = −90000/(π·30²/4) = −90000/706,9 = −127,3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa
στxyCσ1​σ2​

Círculo de Mohr

C = σ/2 = −63,66 MPa
R = √((−63,66)² + 75,45²) = 98,72 MPa
σ1 = C + R = 35,06 MPa
σ2 = C − R = −162,4 MPa

Resposta

σ1 = 35,06 MPa
11.Deflexão da viga

Resposta: θA = 0,02348 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 6000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Rotação na extremidade

θA = wL³/(24EI) = 12·6000³/(24·4,6 × 10¹²) = 0,02348 rad

Resposta

θA = 0,02348 rad

Isso equivale a 1,345°.

12.Deflexão da viga

Resposta: hreq = 235,7 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento de inércia necessário

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4000⁴/(384·11000·11,11) = 8,182 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = Ireq → h = (12·8,182 × 10⁷/75)1/3 = 235,7 mm

Resposta

hreq = 235,7 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 33,91 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2500² = 33913 N = 33,91 kN

Resposta

Pcr = 33,91 kN
14.Flambagem de pilares

Resposta: σcr = 17,27 MPa

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200

Tensão crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Resposta

σcr = 17,27 MPa

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