Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 45 kNtrecho 1: Ø30 mm, 1,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado de latão (diâmetro externo 30 mm, diâmetro interno 18 mm, comprimento 3 m) está fixo em uma extremidade e é torcido por um torque de 200 N·m na outra. Encontre o ângulo de torção φ em graus.

T = 200 N·md_o = 30 mmd_i = 18 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 15 kW a 1800 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 75 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 15 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

20 kN @ 3 m15 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 10 mP = 55 kN em 4 mw = 5 kN/m de 0 a 10 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 150 mm × 150 mm tem um recorte retangular de 60 mm de largura e 20 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 90 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 150 mmrecorte: 60 × 20 mmcentro do furo: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 120 MPa e σᵧ = −40 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 135 MPa?

σ_x = 120 MPaσ_y = −40 MPaσ₁ = 135 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 120 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 60° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas iguais P nos terços do vão (a L/3 de cada apoio). Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 17 kNL = 8 mE = 70 GPa (alumínio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 15 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 15 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 13642 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 75·1000/78,54 = 954,9 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 954,9/70000 = 0,01364 = 13642 µε

Resposta

ε = 13642 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 2,39 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1500/200000 = 0,4775 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 223,8·1000/117000 = 1,913 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,39 mm

Resposta

δ = 2,39 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 12,74 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴

Ângulo de torção

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·3000/(39000·69216) = 0,2223 rad

φ = 0,2223·180/π = 12,74°

Resposta

φ = 12,74°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 17,55 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·79577/(π·75)) = 17,55 mm

Resposta

d = 17,55 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 3 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 55 kN, R₂ = 55 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 47,5, M_C = 80, M_D = 97,5 kN·m, M_E = 80, M_F = 47,5, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 97,5 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 192 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·4 + 5·10·5

R_B = 470/10 = 47 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 47 = 58 kN

Onde V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 38 kN

V(4⁺) = 38 − 55 = −17 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 58·4 − 5·4²/2 = 192 kN·m

Resposta

M_max = 192 kN·m

Ele ocorre em x = 4 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 9,854 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

alma: A_w = 8·160 = 1280 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·167,5 + 1280·80)/4580 = 143 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 220·15³/12 + 3300·(167,5 − 143)² = 2,035 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·160³/12 + 1280·(80 − 143)² = 7,818 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,035 × 10⁶ + 7,818 × 10⁶ = 9,854 × 10⁶ mm⁴ = 9,854 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 9,854 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 41,86 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (22500·75 − 1200·90)/(22500 − 1200) = 74,15 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·150³/12 + 22500·0,8451² = 42,2 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

60·20³/12 + 1200·15,85² = 0,3413 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 41,86 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 41,86 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 51,23 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio necessário

C = (120 + (−40))/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 135 − 40 = 95 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 80²) = 51,23 MPa

Resposta

τ_xy = 51,23 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = −11,65 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −25·0,866 + −20·−0,5 = −11,65 MPa

Resposta

τ_θ = −11,65 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 30,33 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 30,33 mm

Resposta

δ_max = 30,33 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 77,43 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 17000 N, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Uma carga em L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 38,71 mm

Some as duas cargas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 77,43 mm

Resposta

δ_max = 77,43 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 8,225 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/4000² = 8225 N = 8,225 kN

Resposta

P_cr = 8,225 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 41,57 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·15000 = 45000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 41,57 mm

Resposta

d = 41,57 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 144,3, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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