Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 25 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de bronze (diâmetro externo 120 mm, diâmetro interno 70 mm, E = 110 GPa). Ambos têm 300 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 50 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 50 kNbarra: Ø25 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 80 kNtrecho 1: Ø25 mm, 0,5 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 0,5 m, alumínio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 500 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço com diâmetro 60 mm está fixo em A. Um torque de 400 N·m atua em B, a 0,5 m de A, e um torque de 1500 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 1 m adiante. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

d = 60 mmT_B = 400 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,5 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mw = 6 kN/m de 0 a 10 mx = 1,5 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 45 kN em 1,5 mw = 10 kN/m de 0 a 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 260 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 170 mm. Base e abas têm todas 16 mm de espessura. Encontre a altura ȳ do centroide acima da borda inferior.

b = 260 mmh = 170 mmt = 16 mm

ȳ = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 10 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 80 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 40 MPa, σᵧ = −70 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 25° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (aço)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 50 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/360. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 1,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 50 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,01632 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·7461 = 9,189 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 50000·300/9,189 × 10⁸ = 0,01632 mm

Resposta

δ = 0,01632 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 254,6 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 163 MPa

σ₂ = 254,6 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 254,6 MPa

Resposta

σ_max = 254,6 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,796 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(26000·613592) = 0,03134 rad

φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Resposta

φ = 1,796°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 35,37 MPa

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 400 = 1100 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O trecho com o maior torque interno tem a maior tensão (mesmo diâmetro).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1,5 × 10⁶/(π·60³) = 35,37 MPa

Resposta

τ_max = 35,37 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = 21 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Corte em x = 1,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 30 − 6·1,5 = 21 kN

Resposta

V_x = 21 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 73,5 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1,5 + 10·5·2,5

R_B = 192,5/5 = 38,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 38,5 = 56,5 kN

Corte em x = 1,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 56,5·1,5 − 10·1,5·0,75 = 73,5 kN·m

Resposta

M_x = 73,5 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: ȳ = 54,09 mm

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em retângulos

Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.

base: A₁ = 260·16 = 4160 mm², y₁ = 8 mm

duas abas: A₂ = 2·16·154 = 4928 mm², y₂ = 16 + 154/2 = 93 mm

Centroide

ȳ = (4160·8 + 4928·93)/9088 = 54,09 mm

Resposta

ȳ = 54,09 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 46,01 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

alma: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·267,5 + 3120·130)/4920 = 180,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·15³/12 + 1800·(267,5 − 180,3)² = 1,372 × 10⁷ mm⁴

alma: 12·260³/12 + 3120·(130 − 180,3)² = 2,547 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,372 × 10⁷ + 2,547 × 10⁷ = 3,919 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 180,3 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·180,3/3,919 × 10⁷ = 46,01 MPa

Resposta

σ_base = 46,01 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 46,1 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((80 − −10)/2)² + −10²) = 46,1 MPa

Resposta

τ_max = 46,1 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = −16,42 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −55·0,766 + 40·0,6428 = −16,42 MPa

Resposta

τ_θ = −16,42 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 26,54 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 26,54 mm

Resposta

δ_max = 26,54 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 187,4 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·3500⁴/(384·11000·9,722) = 2,741 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·2,741 × 10⁷/50)^1/3 = 187,4 mm

Resposta

h_req = 187,4 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 86,82 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86,82 kN

Resposta

P_cr = 86,82 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 12,34 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Resposta

σ_cr = 12,34 MPa

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