Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de latão sob a carga axial.

P = 20 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 15 kNtrecho 1: Ø35 mm, 1 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio com diâmetro 50 mm está fixo em A. Um torque de 1000 N·m atua em B, a 3 m de A, e um torque de 500 N·m no mesmo sentido atua na extremidade livre C, 2 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

d = 50 mmT_B = 1000 N·mT_C = 500 N·mAB = 3 mBC = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 2,5 m de A. Encontre o momento fletor M_A no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 2,5 mP = 60 kN em 2,5 mw = 6 kN/m de 0 a 2,5 m

M_A = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 10 mP = 65 kN em 7 mw = 6 kN/m de 0 a 10 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 170 mm de largura e 12 mm de espessura, altura total de 440 mm e alma de 14 mm de espessura. Encontre seu módulo de resistência elástico S_x para flexão em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 170 mmH = 440 mmt_f = 12 mmt_w = 14 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 210 mm de largura e 22 mm de espessura, altura total de 460 mm e alma de 8 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 200 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão máxima σ_max na seção.

B = 210 mmH = 460 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mmM = 200 kN·m

σ_max = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = −10 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 20 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 45° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 7 kNb = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 105 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 105 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,4974 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/100000 = 0,0009947 = 994,7 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,0009947·500 mm = 0,4974 mm

Resposta

δ = 0,4974 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,76 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 15,59 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15,59·1000/200000 = 0,07795 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·1000/70000 = 0,6821 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,76 mm

Resposta

δ = 0,76 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 22,99 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·38350) = 0,4012 rad

φ = 0,4012·180/π = 22,99°

Resposta

φ = 22,99°

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 19,75 °

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 1000 = 1500 N·m

Torção de cada trecho

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1,5 × 10⁶·3000/(26000·613592) = 0,2821 rad

φ_BC = 500000·2000/(26000·613592) = 0,06268 rad

Torção da extremidade C

φ_C = 0,2821 + 0,06268 = 0,3448 rad → |φ_C| = 19,75°

Resposta

φ_C = 19,75°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_A = −168,8 kN·m

Fique com a parte da extremidade livre

P: −60·2,5 = −150 kN·m

w: −6·2,5²/2 = −18,75 kN·m

M_A = −150 − 18,75 = −168,8 kN·m

Resposta

M_A = −168,8 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 199,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 65·7 + 6·10·5

R_B = 755/10 = 75,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 125 − 75,5 = 49,5 kN

Onde V = 0?

V(7⁻) = R_A − w·7 = 7,5 kN

V(7⁺) = 7,5 − 65 = −57,5 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·7 − w·7²/2 = 49,5·7 − 6·7²/2 = 199,5 kN·m

Resposta

M_max = 199,5 kN·m

Ele ocorre em x = 7 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: S_x = 1231 × 10³ mm³

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 440 − 2·12 = 416 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·440³ − 156·416³)/12

I_x = 2,709 × 10⁸ mm⁴

Módulo de resistência

c = H/2 = 220 mm

S_x = I/c = 2,709 × 10⁸/220

S_x = 1,231 × 10⁶ mm³ = 1231 × 10³ mm³

Resposta

S_x = 1231 × 10³ mm³

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_max = 93,59 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 460 − 2·22 = 416 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·460³ − 202·416³)/12

I_x = 4,915 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 230 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁸·230/4,915 × 10⁸ = 93,59 MPa

Resposta

σ_max = 93,59 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −4,731 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = 30/30,41 = 0,9864, sin 2θ_s = −5/30,41 = −0,1644

2θ_s = atan2(−5, 30) = −9,462°

Ângulo no elemento

θ_s = −4,731°

verificação: θ_s − θ_p = −4,731 − 40,27 = −45°

Resposta

θ_s = −4,731°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = −35 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 5 + 15·0 + −40·1 = −35 MPa

Resposta

σ_θ = −35 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,006565 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 6·2500³/(24·5,95 × 10¹¹) = 0,006565 rad

Resposta

θ_A = 0,006565 rad

Isso equivale a 0,3762°.

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 3,884 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 7000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 3,884 mm

Resposta

δ_max = 3,884 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 34,88 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN

Resposta

P_cr = 34,88 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 86,4 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 86,4 mm

Resposta

d = 86,4 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 138,9, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials