Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de cobre (diâmetro 50 mm, comprimento 300 mm, E = 120 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,4 mm no total.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 25 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) e um trecho de bronze (diâmetro 40 mm, comprimento 200 mm, E = 110 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 80 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: bronze, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço com 1,2 m de comprimento suporta um torque de 200 N·m. O ângulo de torção entre suas extremidades não pode passar de 2°. Encontre o menor diâmetro d que atende a esse limite.

T = 200 N·mL = 1,2 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 15 kW a 300 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,75 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 60 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 15 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 6 kN/m de 0 a 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 10 kN em 3,5 mw = 3 kN/m de 0 a 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 200 mm de largura e 12 mm de espessura, altura total de 360 mm e alma de 12 mm de espessura. Encontre seu módulo de resistência elástico S_x para flexão em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 200 mmH = 360 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 5 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmM = 5 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −70 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Encontre a tensão equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = −30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 16 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (alumínio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (aço)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 36,96 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1963) = 1,273 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/1,082 × 10⁻⁵ = 36960 N = 36,96 kN

Resposta

P = 36,96 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 51,48 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 80000·691150/854775 = 64686 N

Tensão

σ₂ = 64686/1257 = 51,48 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 51,48 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: d = 30,59 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar necessário

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·1200/(80000·0,03491) = 85944 mm⁴

Diâmetro

d = (32J/π)^1/4 = 30,59 mm

Resposta

d = 30,59 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 38,99 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·60·0,6836)) = 38,99 mm

d_i = 0,75·38,99 = 29,24 mm

Resposta

d_o = 38,99 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 34,35 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 26,25 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Corte em x = 3,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 18·3,5 − 6·3,5·1,75 = 26,25 kN·m

Resposta

M_x = 26,25 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 18,38 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3,5 + 3·5·2,5

R_B = 72,5/5 = 14,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 14,5 = 10,5 kN

Corte em x = 3,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 10,5·3,5 − 3·3,5·1,75 = 18,38 kN·m

Resposta

M_x = 18,38 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: S_x = 1018 × 10³ mm³

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 360 − 2·12 = 336 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·360³ − 188·336³)/12

I_x = 1,833 × 10⁸ mm⁴

Módulo de resistência

c = H/2 = 180 mm

S_x = I/c = 1,833 × 10⁸/180

S_x = 1,018 × 10⁶ mm³ = 1018 × 10³ mm³

Resposta

S_x = 1018 × 10³ mm³

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 21,08 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

alma: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·235 + 3520·110)/6520 = 167,5 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 100·30³/12 + 3000·(235 − 167,5)² = 1,389 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·220³/12 + 3520·(110 − 167,5)² = 2,584 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,389 × 10⁷ + 2,584 × 10⁷ = 3,973 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 167,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·167,5/3,973 × 10⁷ = 21,08 MPa

Resposta

σ_base = 21,08 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 58,52 MPa

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−70 − 40)/2)² + 20²) = 58,52 MPa

Resposta

τ_max = 58,52 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_vM = 63,25 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 5 MPa, R = 36,4 MPa

σ₁ = 41,4 MPa, σ₂ = −31,4 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(41,4² − 41,4·(−31,4) + (−31,4)²) = 63,25 MPa

Resposta

σ_vM = 63,25 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 3,364 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 3,364 mm

Resposta

δ_max = 3,364 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 25,46 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 16000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1000²)/3) = 4583 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 25,46 mm

Resposta

δ_max = 25,46 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 992,2 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

Resposta

P_cr = 992,2 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 21,93 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Resposta

σ_cr = 21,93 MPa

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