Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de bronze (diâmetro externo 120 mm, diâmetro interno 70 mm, E = 110 GPa). Ambos têm 600 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 300 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 300 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 75 kNtrecho 1: Ø40 mm, 2 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 1 m, latão (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 20 kW a 500 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,7 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 50 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 20 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 3 kN/m de 0 a 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

10 kN @ 0 m15 kN @ 12 m25 kN @ 6 m15 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 30 MPa na tração e 150 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor negativo M_allow que a viga pode suportar (dê o seu módulo).

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = −60 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (tração positiva). O elemento é girado 45° no sentido horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = −60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 10 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 40° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1,5 m do apoio B. Encontre a deflexão δ_mid no meio do vão.

P = 13 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 35 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 35 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,1679 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·7461 = 1,072 × 10⁹ N

Encurtamento

δ = 300000·600/1,072 × 10⁹ = 0,1679 mm

Resposta

δ = 0,1679 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 663,1 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 59,68 MPa

σ₂ = 663,1 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 663,1 MPa

Resposta

σ_max = 663,1 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 2,873 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(26000·613592) = 0,05015 rad

φ = 0,05015·180/π = 2,873°

Resposta

φ = 2,873°

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 37,13 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 382 N·m = 381972 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·381972/(π·50·0,7599)) = 37,13 mm

d_i = 0,7·37,13 = 25,99 mm

Resposta

d_o = 37,13 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 33,89 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 22,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Corte em x = 3 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 12·3 − 3·3·1,5 = 22,5 kN·m

Resposta

M_x = 22,5 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 56,67 kN, R₂ = 83,33 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = 43,33, M_D = 46,67, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −60 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 27,51 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

alma: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·247,5 + 1920·120)/4620 = 194,5 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 180·15³/12 + 2700·(247,5 − 194,5)² = 7,631 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·240³/12 + 1920·(120 − 194,5)² = 1,988 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,631 × 10⁶ + 1,988 × 10⁷ = 2,751 × 10⁷ mm⁴ = 27,51 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 27,51 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 3,406 kN·m

Centroide

ȳ = (1400·125 + 960·60)/2360 = 98,56 mm

borda superior: c = 130 − 98,56 = 31,44 mm

Momento de inércia de área

I = 140·10³/12 + 1400·26,44² + 8·120³/12 + 960·38,56² = 3,57 × 10⁶ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento negativo: a face superior fica tracionada, a inferior comprimida.

borda superior: M = 30·3,57 × 10⁶/31,44 = 3,406 kN·m

borda inferior: M = 150·3,57 × 10⁶/98,56 = 5,433 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 3,406 kN·m (borda superior)

Resposta

M_allow = 3,406 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = −25 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = −15 − (−45)·0 − (−10)·(−1) = −25 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = −5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −30 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = −25 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 74,18 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 40 + −30·0,1736 + 40·0,9848 = 74,18 MPa

Resposta

σ_θ = 74,18 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 12,51 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·2,53 × 10¹¹) = 12,51 mm

Resposta

δ = 12,51 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_mid = 9,32 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 13000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Deflexão no meio do vão

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 13000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·1,7 × 10¹²) = 9,32 mm

Resposta

δ_mid = 9,32 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 200,9 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200,9 kN

Resposta

P_cr = 200,9 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 48,74 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 48,74 mm

Resposta

d = 48,74 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 205,2, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials