Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de cobre, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 95 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 2 m, alumínio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço com 2,5 m de comprimento suporta um torque de 100 N·m. O ângulo de torção entre suas extremidades não pode passar de 1°. Encontre o menor diâmetro d que atende a esse limite.

T = 100 N·mL = 2,5 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 100 kW a 1500 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 3 m de A. Encontre o momento fletor M_A no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 3 mP = 20 kN em 3 mw = 4 kN/m de 0 a 3 m

M_A = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mP = 15 kN em 4 mw = 8 kN/m de 0 a 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 30 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmM = 30 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 140 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 800 mm e espessura de parede de 10 mm contém gás a uma pressão manométrica de 1,2 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 20° do eixo do cilindro. Encontre a tensão normal σ_n que atua através da costura de solda.

D = 800 mmt = 10 mmp = 1,2 MPaα = 20°

σ_n = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1,5 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 22 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 145 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 145 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 4534 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 60·1000/113,1 = 530,5 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 530,5/117000 = 0,004534 = 4534 µε

Resposta

ε = 4534 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 472,5 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 472,5 MPa

Resposta

σ_max = 472,5 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: d = 36,75 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar necessário

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·2500/(80000·0,01745) = 179049 mm⁴

Diâmetro

d = (32J/π)^1/4 = 36,75 mm

Resposta

d = 36,75 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 8,83 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Momento polar de inércia

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·37,5/2,704 × 10⁶ = 8,83 MPa

Resposta

τ_max = 8,83 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_A = −78 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −20·3 = −60 kN·m

w: −4·3²/2 = −18 kN·m

M_A = −60 − 18 = −78 kN·m

Resposta

M_A = −78 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 52 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·4 + 8·6·3

R_B = 204/6 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 34 = 29 kN

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 29·4 − 8·4·2 = 52 kN·m

Resposta

M_x = 52 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 50,46 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

alma: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·255 + 3360·120)/7560 = 195 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 140·30³/12 + 4200·(255 − 195)² = 1,544 × 10⁷ mm⁴

alma: 14·240³/12 + 3360·(120 − 195)² = 3,503 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,544 × 10⁷ + 3,503 × 10⁷ = 5,046 × 10⁷ mm⁴ = 50,46 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 50,46 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 100,1 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

alma: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·150 + 1960·70)/5560 = 121,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 180·20³/12 + 3600·(150 − 121,8)² = 2,983 × 10⁶ mm⁴

alma: 14·140³/12 + 1960·(70 − 121,8)² = 8,46 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,983 × 10⁶ + 8,46 × 10⁶ = 1,144 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 160 − 121,8 = 38,2 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·38,2/1,144 × 10⁷ = 100,1 MPa

Resposta

σ_topo = 100,1 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −10,9 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = 50/53,85 = 0,9285, sin 2θ_s = −20/53,85 = −0,3714

2θ_s = atan2(−20, 50) = −21,8°

Ângulo no elemento

θ_s = −10,9°

verificação: θ_s − θ_p = −10,9 − 34,1 = −45°

Resposta

θ_s = −10,9°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_n = 45,19 MPa

Tensões na parede

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,2·400/10 = 48 MPa

σ_a = pr/(2t) = 24 MPa

Transforme para a costura

Tome x ao longo do eixo (σ_a) e y na direção circunferencial (σ_h). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.

σ_n = 24·sin²20° + 48·cos²20° = 45,19 MPa

Resposta

σ_n = 45,19 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 4,963 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 4,963 mm

Resposta

δ_max = 4,963 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 77,21 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 22000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 77,21 mm

Resposta

δ_max = 77,21 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 2,879 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/5000² = 2879 N = 2,879 kN

Resposta

P_cr = 2,879 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 169,3 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 169,3 mm

Resposta

d = 169,3 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 189, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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