Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de cobre sob a carga axial.

P = 20 kNd = 16 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 105 kNtrecho 1: Ø35 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço transmite 5 kW a 1500 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 80 MPa e a torção não pode passar de 1° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 3 kN/m de 0 a 6 mx = 1,5 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mP = 40 kN em 2 mw = 4 kN/m de 0 a 10 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 120 mm × 150 mm tem um recorte retangular de 60 mm de largura e 30 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 52,5 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 150 mmrecorte: 60 × 30 mmcentro do furo: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 20 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −60 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = −60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 2 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 12 kNb = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 70 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 70 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 1,7 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/117000 = 0,0008502 = 850,2 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,0008502·2000 mm = 1,7 mm

Resposta

δ = 1,7 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 10,91 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 109,1·500/117000 = 0,4664 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 522,2·2000/100000 = 10,44 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 10,91 mm

Resposta

δ = 10,91 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 21,55 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·38350) = 0,3761 rad

φ = 0,3761·180/π = 21,55°

Resposta

φ = 21,55°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 21,95 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

d_τ = ∛(16·31831/(π·80)) = 12,65 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·31831/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 21,95 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(12,65, 21,95) = 21,95 mm

Resposta

d = 21,95 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = 4,5 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

Corte em x = 1,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 9 − 3·1,5 = 4,5 kN

Resposta

V_x = 4,5 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 97,5 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·2 + 4·10·5

R_B = 280/10 = 28 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 28 = 52 kN

Corte em x = 3,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 52·3,5 − 40·(3,5 − 2) − 4·3,5·1,75 = 97,5 kN·m

Resposta

M_x = 97,5 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 40,6 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

alma: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·245 + 4320·120)/6120 = 156,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 180·10³/12 + 1800·(245 − 156,8)² = 1,403 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·240³/12 + 4320·(120 − 156,8)² = 2,658 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,403 × 10⁷ + 2,658 × 10⁷ = 4,06 × 10⁷ mm⁴ = 40,6 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 40,6 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 32,6 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (18000·75 − 1800·52,5)/(18000 − 1800) = 77,5 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·150³/12 + 18000·−2,5² = 33,86 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

60·30³/12 + 1800·−25² = 1,26 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 32,6 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 32,6 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 50,25 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((20 − 30)/2)² + 50²) = 50,25 MPa

Resposta

τ_max = 50,25 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = −22,86 MPa

Equação de transformação

σ_θ = −55 + −5·0,5 + 40·0,866 = −22,86 MPa

Resposta

σ_θ = −22,86 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 14,49 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 14,49 mm

Resposta

δ_max = 14,49 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 16,84 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 12000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 16,84 mm

Resposta

δ_max = 16,84 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 6,218 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/5000² = 6218 N = 6,218 kN

Resposta

P_cr = 6,218 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 50,24 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 50,24 mm

Resposta

d = 50,24 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 167,2, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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