Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: +3 µC à esquerda, +4 µC à direita a 10 cm de distância, e −10 µC entre elas, a 7,5 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +3 µCq_R = +4 µCq_M = −10 µCr_L = 7,5 cmr_R = 2,5 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 5 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 4 µC está a 4 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 6 µC está a 4 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 6 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 80% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 24 VR = 50 ΩL = 150 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 24 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 150 ms.

V_s = 12 VR = 2,2 kΩC = 220 µFv_C(0) = 24 Vt = 150 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 4 cm um do outro, conduzem correntes de 2 A e 15 A no mesmo sentido. Encontre a força por metro de comprimento F/L entre eles.

I₁ = 2 AI₂ = 15 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina curta de 100 espiras está enrolada firmemente em torno do meio de um solenoide longo de 1500 espiras, comprimento de 20 cm e diâmetro de 2 cm. A corrente no solenoide varia a 50 A/s. Encontre a fem ε induzida na bobina curta.

N₁ = 1500N₂ = 100l = 20 cm⌀ = 2 cmdi/dt = 50 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um capacitor estão ligados em paralelo a uma fonte de 230 V (eficaz), 60 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 1000 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 527,4 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

F_L = −k·3·10 × 10⁻¹²/0,075² = −47,95 N

F_R = +k·4·10 × 10⁻¹²/0,025² = 575,4 N

Força resultante

F = −47,95 + (575,4) = 527,4 N → |F| = 527,4 N

Resposta

F = 527,4 N

A força resultante aponta para a direita.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 202,6 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·4·5 × 10⁻¹²/0,04² = 112,4 N

F₂ = k·6·5 × 10⁻¹²/0,04² = 168,6 N

Soma vetorial

F = √(112,4² + 168,6²) = 202,6 N

Resposta

F = 202,6 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,9063 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 4 + 10 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 15·14/(15+14) = 7,241 Ω

R_eq = R₁ + 7,241 = 6 + 7,241 = 13,24 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/13,24 = 0,9063 A

Resposta

I_R1 = 0,9063 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 2,602 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 3 + 20 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 2,654 Ω

R₃ + 2,654 = 22,65 Ω

R₂ ∥ 22,65 = 1,838 Ω

R_eq = R₁ + 1,838 = 12 + 1,838 = 13,84 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/13,84 = 2,602 A

Resposta

I_R1 = 2,602 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 4,828 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms

i(∞) = V_s/R = 24/50 = 0,48 A

Resolva para o tempo

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −3·ln(0,2) = 4,828 ms

Resposta

t = 4,828 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 20,8 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms

v_C(t) = 12 + (24 − 12)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(150) = 12 + (12)·e^−150/484 = 20,8 V

Resposta

v_C = 20,8 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: F/L = 150 µN/m

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Força por metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·2·15/0,04 = 150 µN/m

Resposta

F/L = 150 µN/m

Correntes no mesmo sentido se atraem.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 14,8 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Indutância mútua

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1500·100·0,0003142/0,2 = 296,1 µH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,0002961·50 = 14,8 mV

Resposta

ε = 14,8 mV

9.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 19,87 Ω

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 230/30 = 7,667 A

I_X = V/X_C = 230/26,53 = 8,671 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(7,667² + 8,671²) = 11,57 A

Impedância

|Z| = V/I = 230/11,57 = 19,87 Ω

Resposta

|Z| = 19,87 Ω

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,3563 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (280,3)²) = 280,7 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 100/280,7 = 0,3563 A

Resposta

I = 0,3563 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism