Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +10 µC e uma carga de −8 µC estão a 10 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 5 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +10 µCq₂ = −8 µCr₁ = 5 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 6 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 3 µC está a 8 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 1 µC está a 6 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 1 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 40 ms.

V_s = 30 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 22 µFt = 40 ms

v_C = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 750 ms.

V_s = 12 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 220 µFt = 750 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma partícula alfa descreve um círculo num campo magnético uniforme de 0,2 T. Encontre o tempo T que ele leva para uma volta.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CB = 0,2 T

T = ns

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma partícula alfa parte do repouso, é acelerado através de uma diferença de potencial de 10000 V e depois entra num campo magnético uniforme de 0,1 T em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória no campo.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,1 T

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 10 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 12 V (eficaz), 50 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 30 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 6,473 × 10⁷ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,05² = 3,596 × 10⁷ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,05² = 2,877 × 10⁷ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |3,596 × 10⁷ + 2,877 × 10⁷| = 6,473 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 6,473 × 10⁷ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 29,39 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·3·6 × 10⁻¹²/0,08² = 25,28 N

F₂ = k·1·6 × 10⁻¹²/0,06² = 14,98 N

Soma vetorial

F = √(25,28² + 14,98²) = 29,39 N

Resposta

F = 29,39 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,8471 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 5·6/(5+6) = 2,727 Ω

R_eq = R₁ + 2,727 = 5 + 2,727 = 7,727 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/7,727 = 1,553 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,553·5 = 4,235 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,235/5 = 0,8471 A

Resposta

I_R2 = 0,8471 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,425 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 25 + 10 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 6,512 Ω

R₃ + 6,512 = 21,51 Ω

R₂ ∥ 21,51 = 2,633 Ω

R_eq = R₁ + 2,633 = 10 + 2,633 = 12,63 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/12,63 = 1,425 A

Resposta

I_R1 = 1,425 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 4,16 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·4,7/(10 + 4,7) = 3,197 kΩ

v_C(∞) = 30·4,7/(10 + 4,7) = 9,592 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 3,197·22 = 70,34 ms

Curva de carga

v_C(t) = 9,592·(1 − e^−40/70,34) = 4,16 V

Resposta

v_C = 4,16 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 3,634 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 12·6,8/(6,8 + 6,8) = 6 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 6,8·220 = 1496 ms

Descarga

v_C(t) = 6·e^−750/1496 = 3,634 V

Resposta

v_C = 3,634 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: T = 651,6 ns

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Período do movimento circular

Uma partícula mais rápida descreve um círculo maior, então o tempo por volta permanece o mesmo.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·6,645 × 10⁻²⁷/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,2) = 651,6 ns

Resposta

T = 651,6 ns

A velocidade não é necessária: é por isso que um cíclotron pode usar uma única frequência fixa.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 20,37 cm

Velocidade após a aceleração

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·10000/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 982005 m/s

Raio no campo

r = mv/(|q|B) = 0,2037 m = 20,37 cm

Resposta

r = 20,37 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, então íons mais pesados de mesma carga descrevem círculos maiores; é assim que se separam isótopos.

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,5968 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−2,075)²) = 20,11 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/20,11 = 0,5968 A

Resposta

I = 0,5968 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 51,3 Ω

Reatância

X_C = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 25,08 − j11,11 Ω

Impedância total

Z = 25 + 25,08 − j11,11 = 50,08 − j11,11 Ω

|Z| = √(50,08² + 11,11²) = 51,3 Ω

Resposta

|Z| = 51,3 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism