Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: −3 µC à esquerda, +6 µC à direita a 40 cm de distância, e +2 µC entre elas, a 20 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −3 µCq_R = +6 µCq_M = +2 µCr_L = 20 cmr_R = 20 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 5 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 8 µC está a 8 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 2 µC está a 8 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 2 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 1,5 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Encontre a tensão v_R sobre R em t = 1 ms.

i(0) = 1,5 AR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_R = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 10 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 8,4 V? Encontre t.

V_s = 6 VR = 10 kΩC = 100 µFv_C(0) = 10 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma barra metálica de 100 cm de comprimento desliza a 8 m/s sobre dois trilhos num campo uniforme de 0,6 T entrando na página. Os trilhos são ligados por um resistor de 2 Ω; a barra e os trilhos têm resistência desprezível. Encontre a força F necessária para manter a barra em movimento com velocidade constante (sem atrito).

B = 0,6 TL = 100 cmv = 8 m/sR = 2 Ω

F = N

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 100 espiras, 15 cm × 5 cm, gira a 300 rpm num campo uniforme de 0,1 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre o valor eficaz E_rms da fem.

N = 100A = 15 cm × 5 cmB = 0,1 Tn = 300 rpm

E_rms = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 230 V (rms), 200 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 100 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 24 V (rms), 60 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 4,045 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

F_L = −k·3·2 × 10⁻¹²/0,2² = −1,348 N

F_R = −k·6·2 × 10⁻¹²/0,2² = −2,697 N

Força resultante

F = −1,348 + (−2,697) = −4,045 N → |F| = 4,045 N

Resposta

F = 4,045 N

A força resultante aponta para a esquerda.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 57,92 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·8·5 × 10⁻¹²/0,08² = 56,19 N

F₂ = k·2·5 × 10⁻¹²/0,08² = 14,05 N

Soma vetorial

F = √(56,19² + 14,05²) = 57,92 N

Resposta

F = 57,92 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 9,222 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 8 + 20 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 8·28/(8+28) = 6,222 Ω

R_eq = R₁ + 6,222 = 3 + 6,222 = 9,222 Ω

Resposta

R_eq = 9,222 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,517 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 3 + 2 = 5 Ω

R₄ ∥ 5 = 2,727 Ω

R₃ + 2,727 = 12,73 Ω

R₂ ∥ 12,73 = 6,885 Ω

R_eq = R₁ + 6,885 = 3 + 6,885 = 9,885 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/9,885 = 1,517 A

Resposta

I_R1 = 1,517 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_R = 5,02 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

Decaimento da corrente

i(t) = 1,5·e^−1/0,6667 = 0,3347 A

v_R = R·i = 15·0,3347 = 5,02 V

Resposta

v_R = 5,02 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 510,8 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms

v_C(t) = 6 + (10 − 6)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

8,4 = 6 + (4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,4 − 6)/(10 − 6) = 0,6

t = τ·ln((10 − 6)/(8,4 − 6)) = 1000·ln(1,667) = 510,8 ms

Resposta

t = 510,8 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: F = 1,44 N

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de movimento

ε = BLv = 0,6·1·8 = 4,8 V

Corrente

I = ε/R = 4,8/2 = 2,4 A

Força de frenagem

Lei de Lenz: a força sobre a corrente induzida se opõe ao movimento.

F = BIL = 0,6·2,4·1 = 1,44 N

Resposta

F = 1,44 N

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E_rms = 1,666 V

Velocidade angular e área

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

A = 0,0075 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 100·0,1·0,0075·31,42 = 2,356 V

Valor eficaz

E_rms = 2,356/√2 = 1,666 V

Resposta

E_rms = 1,666 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 75,36 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (306,2)²) = 316,5 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(306,2/80) = 75,36°

Resposta

φ = 75,36°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 25,5 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−246,4)²) = 249,6 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 24/249,6 = 0,09614 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 0,09614·265,3 = 25,5 V

Resposta

V_C = 25,5 V

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