Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: −6 µC à esquerda, −6 µC à direita a 10 cm de distância, e −1 µC entre elas, a 4 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −6 µCq_R = −6 µCq_M = −1 µCr_L = 4 cmr_R = 6 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 4 × 10⁷ m/s. As placas têm 6 cm de comprimento e o campo entre elas é 2300 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 4 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 2300 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W(∞) armazenada no indutor depois que o circuito se estabiliza, em mJ.

V_s = 10 VR = 47 ΩL = 22 mH

W(∞) = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está fechada há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente do indutor i em t = 1 ms.

V_s = 24 VR₁ = 33 ΩR₂ = 10 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um fio conduz uma corrente para a esquerda num campo magnético uniforme que aponta entrando na página. Clique no sentido da força magnética sobre o fio.

I: para a esquerdaB: entrando na página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 20 espiras, 20 cm × 25 cm, gira a 1200 rpm num campo uniforme de 0,1 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre a fem de pico E₀.

N = 20A = 20 cm × 25 cmB = 0,1 Tn = 1200 rpm

E₀ = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 500 Hz. Encontre o fator de potência cos φ do circuito.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 22 µF

cos φ =

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 10 Ω, L = 20 mH e C = 10 µF. Encontre seu fator de qualidade Q na ressonância.

R = 10 ΩL = 20 mHC = 10 µF

Q =

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 18,73 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

F_L = +k·6·1 × 10⁻¹²/0,04² = 33,71 N

F_R = −k·6·1 × 10⁻¹²/0,06² = −14,98 N

Força resultante

F = 33,71 + (−14,98) = 18,73 N → |F| = 18,73 N

Resposta

F = 18,73 N

A força resultante aponta para a direita.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 0,4551 mm

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,06/4 × 10⁷ = 1,5 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2300/9,109 × 10⁻³¹ = 4,045 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·4,045 × 10¹⁴·(1,5 × 10⁻⁹)² = 0,0004551 m = 0,4551 mm

Resposta

y = 0,4551 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 3 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 4 + 2 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 4 + 4 = 8 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/8 = 3 A

Resposta

I_R1 = 3 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 28,12 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 6 + 3 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 5,143 Ω

R₃ + 5,143 = 25,14 Ω

R₂ ∥ 25,14 = 8,123 Ω

R_eq = R₁ + 8,123 = 20 + 8,123 = 28,12 Ω

Resposta

R_eq = 28,12 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W(∞) = 0,498 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0,4681 ms

i(∞) = V_s/R = 10/47 = 0,2128 A

Energia armazenada

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·22·0,2128² = 0,498 mJ

Resposta

W(∞) = 0,498 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,6259 A

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 a chave fechada desvia R₂; depois R₁ e R₂ estão os dois na malha.

i(0) = 24/33 = 0,7273 A

i(∞) = 24/(33 + 10) = 0,5581 A

τ = L/R = 47/43 = 1,093 ms

i(t) = 0,5581 + (0,7273 − 0,5581)·e^−t/τ

Corrente no instante dado

i(1) = 0,5581 + (0,1691)·e^−1/1,093 = 0,6259 A

Resposta

i = 0,6259 A

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para baixo na página

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

I: para a esquerda, B: entrando na página

Sentido da força

para baixo na página

Resposta

F: para baixo na página

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E₀ = 12,57 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Velocidade angular e área

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,05 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 20·0,1·0,05·125,7 = 12,57 V

Resposta

E₀ = 12,57 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: cos φ = 0,3165

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 314,2 Ω, X_C = 14,47 Ω

Impedância

|Z| = √(100² + (299,7)²) = 315,9 Ω

Fator de potência

cos φ = R/|Z| = 100/315,9 = 0,3165

O circuito é indutivo, então o fator de potência é indutivo (atrasado).

Resposta

cos φ = 0,3165

10.Impedância CA e fasores

Resposta: Q = 4,472

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,02·10·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,02/(10·10⁻⁶)) = 4,472

Resposta

Q = 4,472

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