Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +4 µC e uma carga de +10 µC estão a 10 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 4 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +4 µCq₂ = +10 µCr₁ = 4 cmr₂ = 6 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 10 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 2 µC está a 8 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 3 µC está a 4 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 3 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W(∞) armazenada no indutor depois que o circuito se estabiliza, em mJ.

V_s = 6 VR = 5 ΩL = 10 mH

W(∞) = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 5 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 150 ms.

V_s = 15 VR = 2,2 kΩC = 47 µFv_C(0) = 5 Vt = 150 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 10 cm um do outro, conduzem correntes de 30 A e 5 A no mesmo sentido. Encontre a força por metro de comprimento F/L entre eles.

I₁ = 30 AI₂ = 5 Ad = 10 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Duas bobinas com autoindutâncias de 40 mH e 50 mH têm um coeficiente de acoplamento de 0,4. A corrente na primeira bobina varia a 200 A/s. Encontre a fem ε induzida na segunda bobina.

L₁ = 40 mHL₂ = 50 mHk = 0,4di/dt = 200 A/s

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 1 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 24 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 24 V (rms)R = 5 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 2,497 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,04² = 2,248 × 10⁷ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,06² = 2,497 × 10⁷ N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |2,248 × 10⁷ − 2,497 × 10⁷| = 2,497 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 2,497 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 170,9 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·2·10 × 10⁻¹²/0,08² = 28,09 N

F₂ = k·3·10 × 10⁻¹²/0,04² = 168,6 N

Soma vetorial

F = √(28,09² + 168,6²) = 170,9 N

Resposta

F = 170,9 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,692 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 12 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 3·22/(3+22) = 2,64 Ω

R_eq = R₁ + 2,64 = 8 + 2,64 = 10,64 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/10,64 = 1,692 A

Resposta

I_R1 = 1,692 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,1118 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 3 + 10 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 5,652 Ω

R₃ + 5,652 = 20,65 Ω

R₂ ∥ 20,65 = 12,23 Ω

R_eq = R₁ + 12,23 = 6 + 12,23 = 18,23 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/18,23 = 0,2742 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,2742·6 = 3,355 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,355/30 = 0,1118 A

Resposta

I_R2 = 0,1118 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W(∞) = 7,2 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 5 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 6/5 = 1,2 A

Energia armazenada

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·1,2² = 7,2 mJ

Resposta

W(∞) = 7,2 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 12,66 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 47 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 15 + (5 − 15)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(150) = 15 + (−10)·e^−150/103,4 = 12,66 V

Resposta

v_C = 12,66 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: F/L = 300 µN/m

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Força por metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·30·5/0,1 = 300 µN/m

Resposta

F/L = 300 µN/m

Correntes no mesmo sentido se atraem.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 3,578 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Indutância mútua

M = 0,4·√(40·50) = 17,89 mH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,01789·200 = 3,578 V

Resposta

ε = 3,578 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,0244 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·1·10⁻⁶) = 795,8 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−481,6)²) = 491,9 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/491,9 = 0,0244 A

Resposta

I = 0,0244 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 700,2 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·4,7·10⁻⁶) = 1459 rad/s

I = V/R = 24/5 = 4,8 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 1459·0,1 = 145,9 Ω

V_L = I·X_L = 4,8·145,9 = 700,2 V

Resposta

V_L = 700,2 V

Isso é Q = 29,17 vezes a tensão da fonte.

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