Lei de Coulomb e campos elétricos
- Lei de Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo de uma carga pontual
- E = k·|q|/r²
- Constante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Força sobre uma carga
- F = q·E
Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Resistores em série e paralelo
- Resistências em série
- Req = R1 + R2 + …
- Resistências em paralelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Dois em paralelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Lei de Ohm
- V = I·R
- Potência
- P = V·I = I²R = V²/R
Método
- Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
- Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Redesenhe o circuito após cada passo.
- Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.
Transitórios RC e RL
- Constante de tempo
- τ = RC | τ = L/R
- Resposta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Capacitor em CC
- circuito aberto; vC não pode saltar
- Indutor em CC
- curto-circuito; iL não pode saltar
- Regime permanente
- t ≈ 5τ
Método
- Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
- Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
- Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
- Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campos magnéticos e indução
- Fio reto e longo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro de uma bobina plana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide longo
- B = μ0nI, n = N/L
- Constante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Força sobre um fio
- F = BIL·sin θ
- Força sobre uma carga
- F = |q|vB·sin θ
- Movimento circular
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fios paralelos
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Fluxo
- Φ = BA·cos θ
- Lei de Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Barra em movimento
- ε = BLv
- Gerador
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Indutância
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Indutância mútua
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Seletor de velocidade e espectrômetro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Método
- Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
- Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
- Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
- Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.
Impedância CA e fasores
- Impedâncias
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Frequência angular
- ω = 2πf
- Módulo e ângulo
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Lei de Ohm fasorial
- V = I·Z
Método
- Converta a frequência: ω = 2πf.
- Encontre cada reatância: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
- Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
- Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.
2Exercícios
1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia
Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de −5 µC e +4 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 20 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −5 µCq2 = +4 µCr = 20 cm
F = N
2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil
Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 1 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 8 µC está a 4 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 6 µC está a 3 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.
q1 = 8 µCq2 = 6 µCq3 = 1 µCr13 = 4 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Resistores em série e paraleloMédia
Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.
V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
4.Resistores em série e paraleloDifícil
Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.
V1 = 36 VR1 = 30 ΩR2 = 25 ΩR3 = 4 ΩR4 = 5 ΩR5 = 8 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
5.Transitórios RC e RLMédia
A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a constante de tempo τ do circuito após o fechamento da chave.
Vs = 6 VR1 = 10 kΩR2 = 2,2 kΩC = 22 µF
τ = ms
6.Transitórios RC e RLDifícil
Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 18 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para vC chegar a 16,5 V? Encontre t.
Vs = 15 VR = 3,3 kΩC = 220 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.Campos magnéticos e induçãoMédia
Uma bobina de 200 espiras tem uma área de 80 cm². A bobina está num campo uniforme de 0,4 T perpendicular ao seu plano, e o campo é desligado em 200 ms. Encontre a fem induzida média ε.
N = 200A = 80 cm²B = 0,4 TΔt = 200 ms
ε = V
8.Campos magnéticos e induçãoDifícil
Um solenoide longo com núcleo de ar tem 500 espiras, comprimento de 25 cm e diâmetro de 1,5 cm. Encontre a sua autoindutância L.
N = 500l = 25 cm⌀ = 1,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Impedância CA e fasoresMédia
Um circuito RLC série com C = 47 µF deve ressoar a 100 Hz. Encontre a indutância L necessária.
f0 = 100 HzC = 47 µF
L = mH
10.Impedância CA e fasoresDifícil
Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 230 V (rms), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.
V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 22 µF
I = A
3Soluções
1.Lei de Coulomb e campos elétricos
Resposta: F = 0,05619 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Carga após o contato
q′ = (−5 + 4)/2 = −0,5 µC
Nova força
F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,2² = 0,05619 N
Resposta
F = 0,05619 N
As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.
2.Lei de Coulomb e campos elétricos
Resposta: F = 74,92 N
Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.
Cada força sobre q₃
F1 = k·8·1 × 10⁻¹²/0,04² = 44,95 N
F2 = k·6·1 × 10⁻¹²/0,03² = 59,93 N
Soma vetorial
F = √(44,95² + 59,93²) = 74,92 N
Resposta
F = 74,92 N
3.Resistores em série e paralelo
Resposta: Req = 21,83 Ω
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R3 + R4 = 2 + 20 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 2·22/(2+22) = 1,833 Ω
Req = R1 + 1,833 = 20 + 1,833 = 21,83 Ω
Resposta
Req = 21,83 Ω
4.Resistores em série e paralelo
Resposta: Req = 35,67 Ω
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R5 + R6 = 8 + 2 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 3,333 Ω
R3 + 3,333 = 7,333 Ω
R2 ∥ 7,333 = 5,67 Ω
Req = R1 + 5,67 = 30 + 5,67 = 35,67 Ω
Resposta
Req = 35,67 Ω
5.Transitórios RC e RL
Resposta: τ = 39,67 ms
Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.
Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor
Coloque a fonte em curto para encontrar Rth; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.
Rth = R1 ∥ R2 = 10·2,2/(10 + 2,2) = 1,803 kΩ
vC(∞) = 6·2,2/(10 + 2,2) = 1,082 V
Constante de tempo
τ = Rth·C = 1,803·22 = 39,67 ms
Resposta
τ = 39,67 ms
6.Transitórios RC e RL
Resposta: t = 503,2 ms
Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.
Valor inicial, valor final, constante de tempo
A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.
vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 220 µF = 726 ms
vC(t) = 15 + (18 − 15)·e−t/τ
Resolva para o tempo
16,5 = 15 + (3)·e−t/τ → e−t/τ = (16,5 − 15)/(18 − 15) = 0,5
t = τ·ln((18 − 15)/(16,5 − 15)) = 726·ln(2) = 503,2 ms
Resposta
t = 503,2 ms
7.Campos magnéticos e indução
Resposta: ε = 3,2 V
Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).
Variação do fluxo por espira
ΔΦ = 0,4·0,008 = 0,0032 Wb
Fem média
ε = NΔΦ/Δt = 200·0,0032/0,2 = 3,2 V
Resposta
ε = 3,2 V
8.Campos magnéticos e indução
Resposta: L = 222,1 µH
Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).
Seção transversal
A = π·(0,0075)² = 0,0001767 m²
Autoindutância
L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·500²·0,0001767/0,25 = 0,0002221 H = 222,1 µH
Resposta
L = 222,1 µH
9.Impedância CA e fasores
Resposta: L = 53,89 mH
Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.
Condição de ressonância
Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628,3²·47·10⁻⁶) = 53,89 mH
Resposta
L = 53,89 mH
10.Impedância CA e fasores
Resposta: I = 1,78 A
Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.
Reatâncias
ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω
Impedância
Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−81,85)²) = 129,2 Ω
Corrente
A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.
I = V/|Z| = 230/129,2 = 1,78 A
Resposta
I = 1,78 A
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism