Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +4 µC e +10 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 25 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = +10 µCr = 25 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 1 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 4 µC está a 6 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 2 µC está a 10 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 2 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 99% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 10 VR = 15 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está aberta há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave fecha e coloca R₂ em curto. Encontre a corrente do indutor i em t = 10 ms.

V_s = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩL = 68 mHt = 10 ms

i = A

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 10 espiras, área 200 cm² e resistência 5 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,2 T para 1 T em 10 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 10A = 200 cm²B: 0,2 T → 1 TΔt = 10 msR = 5 Ω

I = A

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 20 espiras, 5 cm × 25 cm, gira a 300 rpm num campo uniforme de 0,25 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre a fem de pico E₀.

N = 20A = 5 cm × 25 cmB = 0,25 Tn = 300 rpm

E₀ = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 50 V (eficaz), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 50 ΩC = 22 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 7,048 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (4 + 10)/2 = 7 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(7 × 10⁻⁶)²/0,25² = 7,048 N

Resposta

F = 7,048 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 10,15 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·4·1 × 10⁻¹²/0,06² = 9,989 N

F₂ = k·2·1 × 10⁻¹²/0,1² = 1,798 N

Soma vetorial

F = √(9,989² + 1,798²) = 10,15 N

Resposta

F = 10,15 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 7,074 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 12 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 5·22/(5+22) = 4,074 Ω

R_eq = R₁ + 4,074 = 3 + 4,074 = 7,074 Ω

Resposta

R_eq = 7,074 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,2454 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 25 + 15 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 2,791 Ω

R₃ + 2,791 = 17,79 Ω

R₂ ∥ 17,79 = 3,903 Ω

R_eq = R₁ + 3,903 = 12 + 3,903 = 15,9 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/15,9 = 0,3144 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,3144·12 = 1,227 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,227/5 = 0,2454 A

Resposta

I_R2 = 0,2454 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 14,43 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 47 mH / 15 Ω = 3,133 ms

i(∞) = V_s/R = 10/15 = 0,6667 A

Resolva para o tempo

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −3,133·ln(0,01) = 14,43 ms

Resposta

t = 14,43 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,3824 A

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 os dois resistores estão na malha; depois a chave fechada desvia R₂.

i(0) = 6/(15 + 10) = 0,24 A

i(∞) = 6/15 = 0,4 A

τ = L/R = 68/15 = 4,533 ms

i(t) = 0,4 + (0,24 − 0,4)·e^−t/τ

Corrente no instante dado

i(10) = 0,4 + (−0,16)·e^−10/4,533 = 0,3824 A

Resposta

i = 0,3824 A

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 3,2 A

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (1 − 0,2)·0,02 = 0,016 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,016/0,01 = 16 V

Corrente

I = ε/R = 16/5 = 3,2 A

Resposta

I = 3,2 A

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E₀ = 1,963 V

Velocidade angular e área

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

A = 0,0125 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 20·0,25·0,0125·31,42 = 1,963 V

Resposta

E₀ = 1,963 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,8517 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−110,4)²) = 117,4 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 100/117,4 = 0,8517 A

Resposta

I = 0,8517 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,7897 A

Reatância

X_C = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 33,84 − j23,39 Ω

Impedância total

Z = 25 + 33,84 − j23,39 = 58,84 − j23,39 Ω

|Z| = √(58,84² + 23,39²) = 63,31 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 50/63,31 = 0,7897 A

Resposta

I = 0,7897 A

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