Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +6 µC e +10 µC estão a 60 cm uma da outra. A que distância x da carga de +6 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +6 µCq₂ = +10 µCd = 60 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 1 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 40 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 5° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 40 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 3 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Quanto tempo leva para a corrente cair até 0,75 A? Encontre t.

i(0) = 3 AR = 68 ΩL = 22 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 15 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 13,5 V, exatamente 200 ms após o início. Com R = 4,7 kΩ, encontre a capacitância C necessária.

V_s = 15 VV_th = 13,5 VT = 200 msR = 4,7 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma partícula alfa move-se a 6 × 10⁶ m/s perpendicularmente a um campo magnético uniforme de 1 T. Encontre o raio r da sua trajetória circular.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁶ m/sB = 1 T

r = cm

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 50 espiras, 12 cm × 5 cm, gira num campo uniforme de 0,05 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Com que velocidade n (em rotações por minuto) ela deve girar para produzir uma fem eficaz de 3,999 V?

N = 50A = 12 cm × 5 cmB = 0,05 TE_rms = 3,999 V

n = rpm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 100 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 200 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 47 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 26,19 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

6/x² = 10/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(10/6) = 1,291

Posição

x = 60/(1 + 1,291) = 26,19 cm

Resposta

x = 26,19 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 21,54 nC

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 5° = 0,0008583 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 5° = 0,06972 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,06972·√(0,0008583/8,99 × 10⁹) = 2,154 × 10⁻⁸ C = 21,54 nC

Resposta

q = 21,54 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 8,438 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 8 + 5 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 3·13/(3+13) = 2,438 Ω

R_eq = R₁ + 2,438 = 6 + 2,438 = 8,438 Ω

Resposta

R_eq = 8,438 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 14,64 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 2 + 2 = 4 Ω

R₄ ∥ 4 = 1,714 Ω

R₃ + 1,714 = 4,714 Ω

R₂ ∥ 4,714 = 2,64 Ω

R_eq = R₁ + 2,64 = 12 + 2,64 = 14,64 Ω

Resposta

R_eq = 14,64 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 0,4485 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms

Resolva para o tempo

0,75 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/0,75)

t = 0,3235·ln(4) = 0,4485 ms

Resposta

t = 0,4485 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: C = 18,48 µF

Constante de tempo necessária

13,5 = 15·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(15/(15 − 13,5))

τ = 200/2,303 = 86,86 ms

Capacitância

kΩ vezes µF dá milissegundos.

C = τ/R = 86,86/4,7 = 18,48 µF

Resposta

C = 18,48 µF

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 12,44 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilíbrio de forças

A força magnética é sempre perpendicular à velocidade, por isso curva a trajetória num círculo.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raio

r = 6,645 × 10⁻²⁷·6 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·1) = 0,1244 m = 12,44 cm

Resposta

r = 12,44 cm

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: n = 3600 rpm

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de pico

E₀ = √2·E_rms = 5,655 V

Velocidade angular

ω = E₀/(NBA) = 5,655/(50·0,05·0,006) = 377 rad/s

Rotações por minuto

n = 60·377/(2π) = 3600 rpm

Resposta

n = 3600 rpm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,591 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (59,65)²) = 84,6 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 50/84,6 = 0,591 A

Resposta

I = 0,591 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 2,241 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (45,9)²) = 75,54 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 10/75,54 = 0,1324 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 0,1324·16,93 = 2,241 V

Resposta

V_C = 2,241 V

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