Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +10 µC e uma carga de −2 µC estão a 30 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 12 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +10 µCq₂ = −2 µCr₁ = 12 cmr₂ = 18 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +8 µC e +8 µC estão a 12 cm uma da outra. O ponto P está a 8 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = +8 µCd = 12 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 10 ms.

V_s = 5 VR = 15 ΩL = 68 mHt = 10 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 15 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 7,5 V, exatamente 10 ms após o início. Com C = 100 µF, encontre a resistência R necessária.

V_s = 15 VV_th = 7,5 VT = 10 msC = 100 µF

R = kΩ

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma espira circular está num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. A intensidade do campo está diminuindo. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho.

B: saindo da páginadB/dt < 0

1horário
2anti-horário

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

A corrente em um indutor de 50 mH varia de forma constante de 2 A para 5 A em 2 ms. Encontre o módulo da fem autoinduzida ε.

L = 50 mH2 A → 5 AΔt = 2 ms

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 24 V (rms), 200 Hz. Encontre a potência ativa P absorvida da fonte.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

P = W

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 24 V (rms), 100 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 6,798 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,12² = 6,243 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,18² = 554938 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |6,243 × 10⁶ + 554938| = 6,798 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 6,798 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,151 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(6² + 8²) = 10 cm

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,1² = 7,192 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da reta que une as cargas se anulam.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·7,192 × 10⁶·0,8 = 1,151 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 1,151 × 10⁷ N/C

O campo aponta ao longo da mediatriz, para longe das cargas.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,5778 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 3 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 6·13/(6+13) = 4,105 Ω

R_eq = R₁ + 4,105 = 3 + 4,105 = 7,105 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/7,105 = 0,8444 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,8444·3 = 3,467 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,467/6 = 0,5778 A

Resposta

I_R2 = 0,5778 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 5,716 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 12 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 10,12 Ω

R₃ + 10,12 = 20,12 Ω

R₂ ∥ 20,12 = 1,819 Ω

R_eq = R₁ + 1,819 = 2 + 1,819 = 3,819 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/3,819 = 6,284 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 6,284·2 = 11,43 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11,43/2 = 5,716 A

Resposta

I_R2 = 5,716 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 0,5508 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 68 mH / 15 Ω = 4,533 ms

i(∞) = V_s/R = 5/15 = 0,3333 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−10/4,533 = 0,5508 V

Resposta

v_L = 0,5508 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: R = 0,1443 kΩ

Constante de tempo necessária

7,5 = 15·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(15/(15 − 7,5))

τ = 10/0,6931 = 14,43 ms

Resistência

kΩ vezes µF dá milissegundos.

R = τ/C = 14,43/100 = 0,1443 kΩ

Resposta

R = 0,1443 kΩ

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: anti-horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo entrando na página aumenta, ou o fluxo saindo da página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: saindo da página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

anti-horário

Resposta

anti-horário

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 75 V

Fem autoinduzida

A fem se opõe à variação da corrente (Lenz), então seu sinal é oposto ao de ΔI; o valor é L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,05·3/0,002 = 75 V

Resposta

ε = 75 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: P = 10,04 W

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 188,5 Ω, X_C = 169,3 Ω

Impedância

|Z| = √(50² + (19,18)²) = 53,55 Ω

Potência ativa

Indutores e capacitores só armazenam e devolvem energia; o resistor absorve toda a potência ativa.

I = 24/53,55 = 0,4482 A

P = I²·R = 0,4482²·50 = 10,04 W

Resposta

P = 10,04 W

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 30,58 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−566,4)²) = 567,8 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 24/567,8 = 0,04227 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 0,04227·723,4 = 30,58 V

Resposta

V_C = 30,58 V

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