Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +1 µC e +5 µC estão a 80 cm uma da outra. A que distância x da carga de +1 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +1 µCq₂ = +5 µCd = 80 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +6 µC e +6 µC estão a 16 cm uma da outra. O ponto P está a 4 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = +6 µCd = 16 cmh = 4 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 1 ms.

V_s = 20 VR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está aberta há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave fecha e coloca R₂ em curto. Encontre a corrente do indutor i em t = 15 ms.

V_s = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩL = 100 mHt = 15 ms

i = A

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma espira circular está num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. A intensidade do campo está diminuindo. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho.

B: saindo da páginadB/dt < 0

1horário
2anti-horário

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

A corrente em um indutor de 200 mH varia de forma constante de 1 A para 6 A em 20 ms. Encontre o módulo da fem autoinduzida ε.

L = 200 mH1 A → 6 AΔt = 20 ms

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 100 V (eficaz), 500 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 40 ΩC = 4,7 µF

|Z| = Ω

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 24,72 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

1/x² = 5/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(5/1) = 2,236

Posição

x = 80/(1 + 2,236) = 24,72 cm

Resposta

x = 24,72 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 6,031 × 10⁶ N/C

Distância e campo de uma carga

r = √(8² + 4²) = 8,944 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,08944² = 6,742 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da reta que une as cargas se anulam.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·6,742 × 10⁶·0,4472 = 6,031 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 6,031 × 10⁶ N/C

O campo aponta ao longo da mediatriz, para longe das cargas.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 17,44 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 15 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 8·17/(8+17) = 5,44 Ω

R_eq = R₁ + 5,44 = 12 + 5,44 = 17,44 Ω

Resposta

R_eq = 17,44 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 21,39 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 4 + 5 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 5,143 Ω

R₃ + 5,143 = 11,14 Ω

R₂ ∥ 11,14 = 6,393 Ω

R_eq = R₁ + 6,393 = 15 + 6,393 = 21,39 Ω

Resposta

R_eq = 21,39 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,3231 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms

i(∞) = V_s/R = 20/47 = 0,4255 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,4255·(1 − e^−1/0,7021) = 0,3231 A

Resposta

i = 0,3231 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 1,504 A

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 os dois resistores estão na malha; depois a chave fechada desvia R₂.

i(0) = 24/(15 + 20) = 0,6857 A

i(∞) = 24/15 = 1,6 A

τ = L/R = 100/15 = 6,667 ms

i(t) = 1,6 + (0,6857 − 1,6)·e^−t/τ

Corrente no instante dado

i(15) = 1,6 + (−0,9143)·e^−15/6,667 = 1,504 A

Resposta

i = 1,504 A

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: anti-horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo entrando na página aumenta, ou o fluxo saindo da página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: saindo da página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

anti-horário

Resposta

anti-horário

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 50 V

Fem autoinduzida

A fem se opõe à variação da corrente (Lenz), então seu sinal é oposto ao de ΔI; o valor é L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,2·5/0,02 = 50 V

Resposta

ε = 50 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,465 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−106,5)²) = 107,5 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 50/107,5 = 0,465 A

Resposta

I = 0,465 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 71,82 Ω

Reatância

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 29,66 − j17,51 Ω

Impedância total

Z = 40 + 29,66 − j17,51 = 69,66 − j17,51 Ω

|Z| = √(69,66² + 17,51²) = 71,82 Ω

Resposta

|Z| = 71,82 Ω

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