Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +3 µC e uma carga de +8 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 25 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +3 µCq₂ = +8 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 3 × 10⁷ m/s. As placas têm 6 cm de comprimento e o campo entre elas é 1900 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 1900 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 95% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 15 VR = 10 ΩL = 220 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente i₂ em R₂ em t = 80 ms.

V_s = 6 VR₁ = 1 kΩR₂ = 1 kΩC = 68 µFt = 80 ms

i₂ = mA

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um elétron move-se a 5 × 10⁶ m/s perpendicularmente a um campo magnético uniforme de 1 mT. Encontre o raio r da sua trajetória circular.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sB = 1 mT

r = cm

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 500 espiras, 15 cm × 5 cm, gira a 1200 rpm num campo uniforme de 0,05 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre o valor eficaz E_rms da fem.

N = 500A = 15 cm × 5 cmB = 0,05 Tn = 1200 rpm

E_rms = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um indutor estão ligados em paralelo a uma fonte de 50 V (eficaz), 50 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 150 mH

|Z| = Ω

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 60 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 22 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 719200 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,25² = 431520 N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,25² = 1,151 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |431520 − 1,151 × 10⁶| = 719200 N/C

Resposta

E = 719200 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 0,6683 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,06/3 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1900/9,109 × 10⁻³¹ = 3,342 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·3,342 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,0006683 m = 0,6683 mm

Resposta

y = 0,6683 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 6,8 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 12 + 6 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 2·18/(2+18) = 1,8 Ω

R_eq = R₁ + 1,8 = 5 + 1,8 = 6,8 Ω

Resposta

R_eq = 6,8 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 17,34 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 30 + 6 = 36 Ω

R₄ ∥ 36 = 14,75 Ω

R₃ + 14,75 = 24,75 Ω

R₂ ∥ 24,75 = 9,34 Ω

R_eq = R₁ + 9,34 = 8 + 9,34 = 17,34 Ω

Resposta

R_eq = 17,34 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 65,91 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 220 mH / 10 Ω = 22 ms

i(∞) = V_s/R = 15/10 = 1,5 A

Resolva para o tempo

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −22·ln(0,05) = 65,91 ms

Resposta

t = 65,91 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i₂ = 0,9251 mA

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 6·1/(1 + 1) = 3 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 1·68 = 68 ms

Descarga

v_C(t) = 3·e^−80/68 = 0,9251 V

i₂ = v_C/R₂ = 0,9251/1 = 0,9251 mA

Resposta

i₂ = 0,9251 mA

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 2,843 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilíbrio de forças

A força magnética é sempre perpendicular à velocidade, por isso curva a trajetória num círculo.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raio

r = 9,109 × 10⁻³¹·5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,001) = 0,02843 m = 2,843 cm

Resposta

r = 2,843 cm

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E_rms = 16,66 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Velocidade angular e área

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,0075 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 500·0,05·0,0075·125,7 = 23,56 V

Valor eficaz

E_rms = 23,56/√2 = 16,66 V

Resposta

E_rms = 16,66 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 37,06 Ω

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_L = ωL = 2π·50·0,15 = 47,12 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 50/60 = 0,8333 A

I_X = V/X_L = 50/47,12 = 1,061 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,8333² + 1,061²) = 1,349 A

Impedância

|Z| = V/I = 50/1,349 = 37,06 Ω

Resposta

|Z| = 37,06 Ω

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 11,71 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−113)²) = 123,6 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/123,6 = 0,09709 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 0,09709·120,6 = 11,71 V

Resposta

V_C = 11,71 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism