Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de −3 µC e −10 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 40 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −3 µCq₂ = −10 µCr = 40 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 3 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 80 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 10° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 80 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 2 ms.

V_s = 24 VR = 22 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 12 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 30 ms.

V_s = 24 VR = 2,2 kΩC = 47 µFv_C(0) = 12 Vt = 30 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 15 cm um do outro, conduzem correntes de 5 A e 25 A em sentidos opostos. Encontre a força por metro de comprimento F/L entre eles.

I₁ = 5 AI₂ = 25 Ad = 15 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Duas bobinas com autoindutâncias de 40 mH e 50 mH têm um coeficiente de acoplamento de 0,3. A corrente na primeira bobina varia a 10 A/s. Encontre a fem ε induzida na segunda bobina.

L₁ = 40 mHL₂ = 50 mHk = 0,3di/dt = 10 A/s

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com C = 4,7 µF deve ressoar a 5000 Hz. Encontre a indutância L necessária.

f₀ = 5000 HzC = 4,7 µF

L = mH

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 5 Ω, L = 100 mH e C = 10 µF. Encontre seu fator de qualidade Q na ressonância.

R = 5 ΩL = 100 mHC = 10 µF

Q =

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 2,374 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (−3 + −10)/2 = −6,5 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(6,5 × 10⁻⁶)²/0,4² = 2,374 N

Resposta

F = 2,374 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 211,1 nC

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 10° = 0,005189 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 10° = 0,2778 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2778·√(0,005189/8,99 × 10⁹) = 2,111 × 10⁻⁷ C = 211,1 nC

Resposta

q = 211,1 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,7595 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 8 + 8 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 6·16/(6+16) = 4,364 Ω

R_eq = R₁ + 4,364 = 10 + 4,364 = 14,36 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/14,36 = 1,044 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,044·10 = 4,557 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,557/6 = 0,7595 A

Resposta

I_R2 = 0,7595 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 3,524 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 8 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 4,105 Ω

R₃ + 4,105 = 19,11 Ω

R₂ ∥ 19,11 = 1,81 Ω

R_eq = R₁ + 1,81 = 5 + 1,81 = 6,81 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/6,81 = 3,524 A

Resposta

I_R1 = 3,524 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,8033 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1,5 ms

i(∞) = V_s/R = 24/22 = 1,091 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 1,091·(1 − e^−2/1,5) = 0,8033 A

Resposta

i = 0,8033 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 15,02 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 47 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 24 + (12 − 24)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(30) = 24 + (−12)·e^−30/103,4 = 15,02 V

Resposta

v_C = 15,02 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: F/L = 166,7 µN/m

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Força por metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·5·25/0,15 = 166,7 µN/m

Resposta

F/L = 166,7 µN/m

Correntes em sentidos opostos se repelem.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 0,1342 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Indutância mútua

M = 0,3·√(40·50) = 13,42 mH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,01342·10 = 0,1342 V

Resposta

ε = 0,1342 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: L = 0,2156 mH

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·4,7·10⁻⁶) = 0,2156 mH

Resposta

L = 0,2156 mH

10.Impedância CA e fasores

Resposta: Q = 20

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,1·10·10⁻⁶)) = 159,2 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,1/(10·10⁻⁶)) = 20

Resposta

Q = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism