Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +2 µC e +6 µC estão a 80 cm uma da outra. A que distância x da carga de +2 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +2 µCq₂ = +6 µCd = 80 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 3 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 1 µC está a 8 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 10 µC está a 4 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 10 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 8 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 1 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Encontre a tensão v_R sobre R em t = 1 ms.

i(0) = 1 AR = 100 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_R = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 5 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 4 V, exatamente 25 ms após o início. Com C = 2,2 µF, encontre a resistência R necessária.

V_s = 5 VV_th = 4 VT = 25 msC = 2,2 µF

R = kΩ

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma partícula alfa move-se a 3 × 10⁵ m/s perpendicularmente a um campo magnético uniforme de 0,5 T. Encontre o raio r da sua trajetória circular.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁵ m/sB = 0,5 T

r = cm

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Num seletor de velocidade, campos cruzados E = 4 × 10⁴ V/m e B = 0,25 T deixam passar em linha reta apenas íons de uma única velocidade. Encontre essa velocidade v.

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0,25 T

v = m/s

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 1 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 15 Ω, L = 2 mH e C = 0,022 µF. Encontre sua largura de banda B (a largura da faixa entre as frequências de meia potência), em Hz.

R = 15 ΩL = 2 mHC = 0,022 µF

B = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 29,28 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

2/x² = 6/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(6/2) = 1,732

Posição

x = 80/(1 + 1,732) = 29,28 cm

Resposta

x = 29,28 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 168,6 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·1·3 × 10⁻¹²/0,08² = 4,214 N

F₂ = k·10·3 × 10⁻¹²/0,04² = 168,6 N

Soma vetorial

F = √(4,214² + 168,6²) = 168,6 N

Resposta

F = 168,6 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 7,5 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 3·15/(3+15) = 2,5 Ω

R_eq = R₁ + 2,5 = 5 + 2,5 = 7,5 Ω

Resposta

R_eq = 7,5 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 2,823 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 3 + 8 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 1,692 Ω

R₃ + 1,692 = 13,69 Ω

R₂ ∥ 13,69 = 2,461 Ω

R_eq = R₁ + 2,461 = 8 + 2,461 = 10,46 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/10,46 = 3,441 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 3,441·8 = 8,469 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,469/3 = 2,823 A

Resposta

I_R2 = 2,823 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_R = 1,062 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 22 mH / 100 Ω = 0,22 ms

Decaimento da corrente

i(t) = 1·e^−1/0,22 = 0,01062 A

v_R = R·i = 100·0,01062 = 1,062 V

Resposta

v_R = 1,062 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: R = 7,061 kΩ

Constante de tempo necessária

4 = 5·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(5/(5 − 4))

τ = 25/1,609 = 15,53 ms

Resistência

kΩ vezes µF dá milissegundos.

R = τ/C = 15,53/2,2 = 7,061 kΩ

Resposta

R = 7,061 kΩ

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 1,244 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilíbrio de forças

A força magnética é sempre perpendicular à velocidade, por isso curva a trajetória num círculo.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raio

r = 6,645 × 10⁻²⁷·3 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,5) = 0,01244 m = 1,244 cm

Resposta

r = 1,244 cm

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: v = 160000 m/s

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0,25 = 160000 m/s

Resposta

v = 160000 m/s

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,06087 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (152,9)²) = 164,3 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 10/164,3 = 0,06087 A

Resposta

I = 0,06087 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: B = 1194 Hz

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,022·10⁻⁶)) = 23994 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,002/(0,022·10⁻⁶)) = 20,1

Largura de banda

B = f₀/Q = 23994/20,1 = 1194 Hz

Resposta

B = 1194 Hz

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