Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +5 µC e uma carga de −8 µC estão a 10 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 5 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +5 µCq₂ = −8 µCr₁ = 5 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +2 µC e +2 µC estão a 8 cm uma da outra. O ponto P está a 6 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = +2 µCd = 8 cmh = 6 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 40 ms.

V_s = 10 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 68 µFt = 40 ms

v_C = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 300 ms.

V_s = 30 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 100 µFt = 300 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma partícula alfa descreve um círculo num campo magnético uniforme de 0,8 T. Encontre o tempo T que ele leva para uma volta.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CB = 0,8 T

T = ns

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina curta de 200 espiras está enrolada firmemente em torno do meio de um solenoide longo de 500 espiras, comprimento de 40 cm e diâmetro de 5 cm. Encontre a indutância mútua M entre eles.

N₁ = 500N₂ = 200l = 40 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com L = 2 mH deve ressoar a 200 Hz. Encontre a capacitância C necessária.

f₀ = 200 HzL = 2 mH

C = µF

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 100 V (eficaz), 60 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 100 ΩC = 10 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 4,675 × 10⁷ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,05² = 1,798 × 10⁷ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,05² = 2,877 × 10⁷ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |1,798 × 10⁷ + 2,877 × 10⁷| = 4,675 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 4,675 × 10⁷ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 5,754 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(4² + 6²) = 7,211 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,07211² = 3,458 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da reta que une as cargas se anulam.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·3,458 × 10⁶·0,8321 = 5,754 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 5,754 × 10⁶ N/C

O campo aponta ao longo da mediatriz, para longe das cargas.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,1626 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 3 + 8 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 6·11/(6+11) = 3,882 Ω

R_eq = R₁ + 3,882 = 20 + 3,882 = 23,88 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/23,88 = 0,2512 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,2512·20 = 0,9754 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,9754/6 = 0,1626 A

Resposta

I_R2 = 0,1626 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,95 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 6 + 15 = 21 Ω

R₄ ∥ 21 = 6,774 Ω

R₃ + 6,774 = 16,77 Ω

R₂ ∥ 16,77 = 3,852 Ω

R_eq = R₁ + 3,852 = 8 + 3,852 = 11,85 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/11,85 = 2,531 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,531·8 = 9,75 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,75/5 = 1,95 A

Resposta

I_R2 = 1,95 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 1,08 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4,7·3,3/(4,7 + 3,3) = 1,939 kΩ

v_C(∞) = 10·3,3/(4,7 + 3,3) = 4,125 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 1,939·68 = 131,8 ms

Curva de carga

v_C(t) = 4,125·(1 − e^−40/131,8) = 1,08 V

Resposta

v_C = 1,08 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 7,252 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 30·3,3/(2,2 + 3,3) = 18 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 3,3·100 = 330 ms

Descarga

v_C(t) = 18·e^−300/330 = 7,252 V

Resposta

v_C = 7,252 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: T = 162,9 ns

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Período do movimento circular

Uma partícula mais rápida descreve um círculo maior, então o tempo por volta permanece o mesmo.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·6,645 × 10⁻²⁷/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,8) = 162,9 ns

Resposta

T = 162,9 ns

A velocidade não é necessária: é por isso que um cíclotron pode usar uma única frequência fixa.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: M = 616,9 µH

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Indutância mútua

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·500·200·0,001963/0,4 = 616,9 µH

Resposta

M = 616,9 µH

9.Impedância CA e fasores

Resposta: C = 316,6 µF

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,002) = 316,6 µF

Resposta

C = 316,6 µF

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,8525 A

Reatância

X_C = 1/(2π·60·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 87,56 − j33,01 Ω

Impedância total

Z = 25 + 87,56 − j33,01 = 112,6 − j33,01 Ω

|Z| = √(112,6² + 33,01²) = 117,3 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 100/117,3 = 0,8525 A

Resposta

I = 0,8525 A

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