Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: −10 µC à esquerda, −5 µC à direita a 40 cm de distância, e −4 µC entre elas, a 20 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −10 µCq_R = −5 µCq_M = −4 µCr_L = 20 cmr_R = 20 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 2 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 10 µC está a 5 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 1 µC está a 8 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 1 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W armazenada no indutor em t = 40 ms, em mJ.

V_s = 24 VR = 15 ΩL = 220 mHt = 40 ms

W = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente i₂ em R₂ em t = 1000 ms.

V_s = 10 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 10 kΩC = 220 µFt = 1000 ms

i₂ = mA

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 500 espiras tem uma área de 100 cm². A bobina está num campo uniforme de 0,1 T perpendicular ao seu plano, e o campo é desligado em 40 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 500A = 100 cm²B = 0,1 TΔt = 40 ms

ε = V

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

A corrente em um indutor de 80 mH varia de forma constante de 0,5 A para 5,5 A em 10 ms. Encontre o módulo da fem autoinduzida ε.

L = 80 mH0,5 A → 5,5 AΔt = 10 ms

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 50 Hz. Encontre o fator de potência cos φ do circuito.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 100 µF

cos φ =

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 100 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 4,495 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

F_L = +k·10·4 × 10⁻¹²/0,2² = 8,99 N

F_R = −k·5·4 × 10⁻¹²/0,2² = −4,495 N

Força resultante

F = 8,99 + (−4,495) = 4,495 N → |F| = 4,495 N

Resposta

F = 4,495 N

A força resultante aponta para a direita.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 71,97 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·10·2 × 10⁻¹²/0,05² = 71,92 N

F₂ = k·1·2 × 10⁻¹²/0,08² = 2,809 N

Soma vetorial

F = √(71,92² + 2,809²) = 71,97 N

Resposta

F = 71,97 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 3,077 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 3 = 5 Ω

R₂ ∥ 5 = 15·5/(15+5) = 3,75 Ω

R_eq = R₁ + 3,75 = 6 + 3,75 = 9,75 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/9,75 = 3,077 A

Resposta

I_R1 = 3,077 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,8472 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 15 + 8 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 9,079 Ω

R₃ + 9,079 = 39,08 Ω

R₂ ∥ 39,08 = 15,25 Ω

R_eq = R₁ + 15,25 = 6 + 15,25 = 21,25 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/21,25 = 0,8472 A

Resposta

I_R1 = 0,8472 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W = 246 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14,67 ms

i(∞) = V_s/R = 24/15 = 1,6 A

Corrente no instante dado

i(t) = 1,6·(1 − e^−40/14,67) = 1,495 A

Energia armazenada

W = ½·L·i² = ½·220·1,495² = 246 mJ

Resposta

W = 246 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i₂ = 0,5203 mA

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 10·10/(2,2 + 10) = 8,197 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 10·220 = 2200 ms

Descarga

v_C(t) = 8,197·e^−1000/2200 = 5,203 V

i₂ = v_C/R₂ = 5,203/10 = 0,5203 mA

Resposta

i₂ = 0,5203 mA

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 12,5 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = 0,1·0,01 = 0,001 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,001/0,04 = 12,5 V

Resposta

ε = 12,5 V

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 40 V

Fem autoinduzida

A fem se opõe à variação da corrente (Lenz), então seu sinal é oposto ao de ΔI; o valor é L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,08·5/0,01 = 40 V

Resposta

ε = 40 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: cos φ = 0,7785

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 15,71 Ω, X_C = 31,83 Ω

Impedância

|Z| = √(20² + (−16,12)²) = 25,69 Ω

Fator de potência

cos φ = R/|Z| = 20/25,69 = 0,7785

O circuito é capacitivo, então o fator de potência é capacitivo (adiantado).

Resposta

cos φ = 0,7785

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,03868 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (306,2)²) = 310,3 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/310,3 = 0,03868 A

Resposta

I = 0,03868 A

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