Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo de uma carga pontual
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga
F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo
τ = RC | τ = L/R
Resposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Capacitor em CC
circuito aberto; vC não pode saltar
Indutor em CC
curto-circuito; iL não pode saltar
Regime permanente
t ≈ 5τ

Método

  1. Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
  2. Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
  3. Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
  4. Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo
B = μ0I/(2πr)
Centro de uma bobina plana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide longo
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio
F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga
F = |q|vB·sin θ
Movimento circular
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluxo
Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento
ε = BLv
Gerador
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indutância
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Seletor de velocidade e espectrômetro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

  1. Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
  2. Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
  3. Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
  4. Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frequência angular
ω = 2πf
Módulo e ângulo
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial
V = I·Z

Método

  1. Converta a frequência: ω = 2πf.
  2. Encontre cada reatância: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
  4. Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia
−−10 µC−−10 µC++1 µC20 cm + 20 cm

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: −10 µC à esquerda, +1 µC à direita a 40 cm de distância, e −10 µC entre elas, a 20 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −10 µCqR = +1 µCqM = −10 µCrL = 20 cmrR = 20 cm
F = N
2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil
8 cm8 cm+q1​ = +10 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +3 µC

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 6 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 10 µC está a 8 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 3 µC está a 8 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q1 = 10 µCq2 = 3 µCq3 = 6 µCr13 = 8 cmr23 = 8 cm
F = N
3.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩIR2​AR4​2 ΩB

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 ΩR4 = 2 Ω
IR2 = A
4.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​15 Ω

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 ΩR4 = 25 ΩR5 = 5 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
5.Transitórios RC e RLMédia
+−Vs​24 Vt = 0R = 50 ΩL220 mHi(t)

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão vL no indutor em t = 5 ms.

Vs = 24 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 5 ms
vL = V
6.Transitórios RC e RLDifícil
+−Vs​12 Vt = 0R = 6,8 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 10 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para vC chegar a 10,8 V? Encontre t.

Vs = 12 VR = 6,8 kΩC = 47 µFvC(0) = 10 V
t = ms
7.Campos magnéticos e induçãoMédia
R = 0,5 Ωv = 6 m/sL = 40 cmB = 0,5 T

Uma barra metálica de 40 cm de comprimento desliza a 6 m/s sobre dois trilhos num campo uniforme de 0,5 T entrando na página. Encontre a fem induzida ε entre suas extremidades.

B = 0,5 TL = 40 cmv = 6 m/s
ε = V
8.Campos magnéticos e induçãoDifícil
E = 5 × 10⁵ V/m, B1​ = 0,1 TB2​ = 0,4 Tr = ?

Uma partícula alfa passa sem desvio por um seletor de velocidade com campos cruzados E = 5 × 10⁵ V/m e B₁ = 0,1 T. Em seguida entra numa segunda região com apenas um campo magnético B₂ = 0,4 T, em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória ali.

E = 5 × 10⁵ V/mB1 = 0,1 TB2 = 0,4 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.Impedância CA e fasoresMédia
50 V60 HzR = 100 ΩL = 100 mHI

Um resistor e um indutor estão ligados em paralelo a uma fonte de 50 V (eficaz), 60 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 100 mH
I = A
10.Impedância CA e fasoresDifícil
VfR = 20 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF

Um circuito RLC série tem R = 20 Ω, L = 20 mH e C = 0,22 µF. Encontre seu fator de qualidade Q na ressonância.

R = 20 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF
Q =

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 24,72 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

FL = +k·10·10 × 10⁻¹²/0,2² = 22,47 N
FR = +k·1·10 × 10⁻¹²/0,2² = 2,247 N

Força resultante

F = 22,47 + (2,247) = 24,72 N → |F| = 24,72 N

Resposta

F = 24,72 N

A força resultante aponta para a direita.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 87,99 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F1 = k·10·6 × 10⁻¹²/0,08² = 84,28 N
F2 = k·3·6 × 10⁻¹²/0,08² = 25,28 N

Soma vetorial

F = √(84,28² + 25,28²) = 87,99 N

Resposta

F = 87,99 N
3.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 0,4142 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​2 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 20 + 2 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 4·22/(4+22) = 3,385 Ω
Req = R1 + 3,385 = 15 + 3,385 = 18,38 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 9/18,38 = 0,4895 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,4895·15 = 1,657 V
IR2 = VA/R2 = 1,657/4 = 0,4142 A

Resposta

IR2 = 0,4142 A
4.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 1,664 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​25 ΩBR6​15 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 5 + 15 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 11,11 Ω
R3 + 11,11 = 21,11 Ω
R2 ∥ 21,11 = 6,786 Ω
Req = R1 + 6,786 = 3 + 6,786 = 9,786 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 24/9,786 = 2,453 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2,453·3 = 16,64 V
IR2 = VA/R2 = 16,64/10 = 1,664 A

Resposta

IR2 = 1,664 A
5.Transitórios RC e RL

Resposta: vL = 7,704 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4,4 ms
i(∞) = Vs/R = 24/50 = 0,48 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 24·e−5/4,4 = 7,704 V

Resposta

vL = 7,704 V
6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 163,3 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms
vC(t) = 12 + (10 − 12)·e−t/τ

Resolva para o tempo

10,8 = 12 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (10,8 − 12)/(10 − 12) = 0,6
t = τ·ln((10 − 12)/(10,8 − 12)) = 319,6·ln(1,667) = 163,3 ms

Resposta

t = 163,3 ms
7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 1,2 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de movimento

ε = BLv = 0,5·0,4·6 = 1,2 V

Resposta

ε = 1,2 V
8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 25,92 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B1 = 5 × 10⁵/0,1 = 5 × 10⁶ m/s

Raio no segundo campo

r = mv/(|q|B2) = 0,2592 m = 25,92 cm

Resposta

r = 25,92 cm
9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 1,417 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

XL = ωL = 2π·60·0,1 = 37,7 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

IR = V/R = 50/100 = 0,5 A
IX = V/XL = 50/37,7 = 1,326 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(IR² + IX²) = √(0,5² + 1,326²) = 1,417 A

Resposta

I = 1,417 A
10.Impedância CA e fasores

Resposta: Q = 15,08

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Frequência de ressonância

f0 = 1/(2π·√(0,02·0,22·10⁻⁶)) = 2399 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,02/(0,22·10⁻⁶)) = 15,08

Resposta

Q = 15,08

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