Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +5 µC e uma carga de −1 µC estão a 20 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 12 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +5 µCq₂ = −1 µCr₁ = 12 cmr₂ = 8 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +6 µC e −6 µC estão a 8 cm uma da outra. O ponto P está a 3 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −6 µCd = 8 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 25 ms.

V_s = 24 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 1 kΩC = 22 µFt = 25 ms

v_C = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 18 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 16,2 V? Encontre t.

V_s = 12 VR = 2,2 kΩC = 33 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 4 cm um do outro, conduzem correntes de 5 A e 8 A em sentidos opostos. Encontre o módulo da densidade de fluxo magnético B no ponto P, a meio caminho entre eles.

I₁ = 5 AI₂ = 8 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 2000 espiras, comprimento de 25 cm e diâmetro de 1 cm. Encontre a sua autoindutância L.

N = 2000l = 25 cm⌀ = 1 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 50 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 22 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 4,526 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,12² = 3,122 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,08² = 1,405 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |3,122 × 10⁶ + 1,405 × 10⁶| = 4,526 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 4,526 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 3,452 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(4² + 3²) = 5 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,05² = 2,158 × 10⁷ N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,158 × 10⁷·0,8 = 3,452 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 3,452 × 10⁷ N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 16,85 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 20 + 4 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 2·24/(2+24) = 1,846 Ω

R_eq = R₁ + 1,846 = 15 + 1,846 = 16,85 Ω

Resposta

R_eq = 16,85 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 2,297 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 12 + 2 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 8,235 Ω

R₃ + 8,235 = 11,24 Ω

R₂ ∥ 11,24 = 2,368 Ω

R_eq = R₁ + 2,368 = 10 + 2,368 = 12,37 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/12,37 = 2,911 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 2,911·10 = 6,892 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,892/3 = 2,297 A

Resposta

I_R2 = 2,297 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 2,241 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·1/(6,8 + 1) = 0,8718 kΩ

v_C(∞) = 24·1/(6,8 + 1) = 3,077 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 0,8718·22 = 19,18 ms

Curva de carga

v_C(t) = 3,077·(1 − e^−25/19,18) = 2,241 V

Resposta

v_C = 2,241 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 25,89 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 33 µF = 72,6 ms

v_C(t) = 12 + (18 − 12)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

16,2 = 12 + (6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (16,2 − 12)/(18 − 12) = 0,7

t = τ·ln((18 − 12)/(16,2 − 12)) = 72,6·ln(1,429) = 25,89 ms

Resposta

t = 25,89 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: B = 130 µT

Campo magnético de correntes: em torno de um fio reto e longo, as linhas de campo são círculos (regra da mão direita) com B = μ₀I/(2πr). No centro de uma bobina circular plana de N espiras, B = μ₀NI/(2R). Dentro de um solenoide longo o campo é uniforme, B = μ₀nI com n = N/L espiras por metro, qualquer que seja o raio. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Trabalhe em unidades do SI (metros e ampères) e some vetorialmente os campos de várias fontes.

Campo de cada fio em P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·5/0,02 = 50 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·8/0,02 = 80 µT

Combine

B = B₁ + B₂ = 130 µT

Resposta

B = 130 µT

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: L = 1,579 mH

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Seção transversal

A = π·(0,005)² = 7,854 × 10⁻⁵ m²

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·2000²·7,854 × 10⁻⁵/0,25 = 0,001579 H = 1,579 mH

Resposta

L = 1,579 mH

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,0935 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−106,5)²) = 107 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 10/107 = 0,0935 A

Resposta

I = 0,0935 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 10,36 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,15 = 47,12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−97,56)²) = 139,7 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 10/139,7 = 0,07158 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 0,07158·144,7 = 10,36 V

Resposta

V_C = 10,36 V

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