Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +10 µC e uma carga de −5 µC estão a 30 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 7,5 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +10 µCq₂ = −5 µCr₁ = 7,5 cmr₂ = 22,5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 5 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 5 µC está a 5 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 5 µC está a 8 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 5 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a constante de tempo τ do circuito após o fechamento da chave.

V_s = 10 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 1 kΩC = 33 µF

τ = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 9 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 7,2 V, exatamente 25 ms após o início. Com R = 4,7 kΩ, encontre a capacitância C necessária.

V_s = 9 VV_th = 7,2 VT = 25 msR = 4,7 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 8 cm um do outro, conduzem correntes de 15 A e 5 A em sentidos opostos. Encontre o módulo da densidade de fluxo magnético B no ponto P, a meio caminho entre eles.

I₁ = 15 AI₂ = 5 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 500 espiras, 10 cm × 25 cm, gira a 3600 rpm num campo uniforme de 0,3 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre o valor eficaz E_rms da fem.

N = 500A = 10 cm × 25 cmB = 0,3 Tn = 3600 rpm

E_rms = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 60 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 47 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,687 × 10⁷ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,075² = 1,598 × 10⁷ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,225² = 887901 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |1,598 × 10⁷ + 887901| = 1,687 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 1,687 × 10⁷ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 96,52 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·5·5 × 10⁻¹²/0,05² = 89,9 N

F₂ = k·5·5 × 10⁻¹²/0,08² = 35,12 N

Soma vetorial

F = √(89,9² + 35,12²) = 96,52 N

Resposta

F = 96,52 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 11,41 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 15 + 8 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 4·23/(4+23) = 3,407 Ω

R_eq = R₁ + 3,407 = 8 + 3,407 = 11,41 Ω

Resposta

R_eq = 11,41 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,3777 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 4 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 5,625 Ω

R₃ + 5,625 = 15,63 Ω

R₂ ∥ 15,63 = 1,773 Ω

R_eq = R₁ + 1,773 = 30 + 1,773 = 31,77 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/31,77 = 0,3777 A

Resposta

I_R1 = 0,3777 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: τ = 28,77 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·1/(6,8 + 1) = 0,8718 kΩ

v_C(∞) = 10·1/(6,8 + 1) = 1,282 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 0,8718·33 = 28,77 ms

Resposta

τ = 28,77 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: C = 3,305 µF

Constante de tempo necessária

7,2 = 9·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(9/(9 − 7,2))

τ = 25/1,609 = 15,53 ms

Capacitância

kΩ vezes µF dá milissegundos.

C = τ/R = 15,53/4,7 = 3,305 µF

Resposta

C = 3,305 µF

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: B = 100 µT

Campo magnético de correntes: em torno de um fio reto e longo, as linhas de campo são círculos (regra da mão direita) com B = μ₀I/(2πr). No centro de uma bobina circular plana de N espiras, B = μ₀NI/(2R). Dentro de um solenoide longo o campo é uniforme, B = μ₀nI com n = N/L espiras por metro, qualquer que seja o raio. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Trabalhe em unidades do SI (metros e ampères) e some vetorialmente os campos de várias fontes.

Campo de cada fio em P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·15/0,04 = 75 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·5/0,04 = 25 µT

Combine

B = B₁ + B₂ = 100 µT

Resposta

B = 100 µT

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E_rms = 999,6 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Velocidade angular e área

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0,025 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 500·0,3·0,025·377 = 1414 V

Valor eficaz

E_rms = 1414/√2 = 999,6 V

Resposta

E_rms = 999,6 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,9784 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−101,7)²) = 102,2 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 100/102,2 = 0,9784 A

Resposta

I = 0,9784 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,9986 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (45,9)²) = 50,07 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 50/50,07 = 0,9986 A

Resposta

I = 0,9986 A

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