Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +8 µC e uma carga de −5 µC estão a 40 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 30 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +8 µCq₂ = −5 µCr₁ = 30 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 1 × 10⁷ m/s. As placas têm 4 cm de comprimento e o campo entre elas é 3800 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 3800 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 1 ms.

V_s = 24 VR = 68 ΩL = 100 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 10 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 200 ms.

V_s = 6 VR = 3,3 kΩC = 68 µFv_C(0) = 10 Vt = 200 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um fio conduz uma corrente para a esquerda num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. Clique no sentido da força magnética sobre o fio.

I: para a esquerdaB: saindo da página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 2000 espiras, comprimento de 15 cm e diâmetro de 3 cm. Encontre a energia W armazenada no seu campo magnético quando ele conduz 1,5 A.

N = 2000l = 15 cm⌀ = 3 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um indutor estão ligados em paralelo a uma fonte de 230 V (eficaz), 100 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 20 mH

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 15 Ω, L = 100 mH e C = 2,2 µF. Encontre sua largura de banda B (a largura da faixa entre as frequências de meia potência), em Hz.

R = 15 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

B = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 5,294 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,3² = 799111 N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,1² = 4,495 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |799111 + 4,495 × 10⁶| = 5,294 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 5,294 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 5,346 mm

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,04/1 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3800/9,109 × 10⁻³¹ = 6,683 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·6,683 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0,005346 m = 5,346 mm

Resposta

y = 5,346 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,4 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 2 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 15·12/(15+12) = 6,667 Ω

R_eq = R₁ + 6,667 = 20 + 6,667 = 26,67 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/26,67 = 0,9 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 0,9·20 = 6 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6/15 = 0,4 A

Resposta

I_R2 = 0,4 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 5,487 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 6 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 8,049 Ω

R₃ + 8,049 = 16,05 Ω

R₂ ∥ 16,05 = 2,528 Ω

R_eq = R₁ + 2,528 = 3 + 2,528 = 5,528 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/5,528 = 6,513 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 6,513·3 = 16,46 V

I_R2 = V_A/R₂ = 16,46/3 = 5,487 A

Resposta

I_R2 = 5,487 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,1741 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1,471 ms

i(∞) = V_s/R = 24/68 = 0,3529 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,3529·(1 − e^−1/1,471) = 0,1741 A

Resposta

i = 0,1741 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 7,641 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 68 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 6 + (10 − 6)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(200) = 6 + (4)·e^−200/224,4 = 7,641 V

Resposta

v_C = 7,641 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para cima na página

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

I: para a esquerda, B: saindo da página

Sentido da força

para cima na página

Resposta

F: para cima na página

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: W = 26,65 mJ

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 23,69 mH

Energia armazenada

W = ½LI² = ½·0,02369·1,5² = 0,02665 J = 26,65 mJ

Resposta

W = 26,65 mJ

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 67,27 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_L = ωL = 2π·100·0,02 = 12,57 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 230/30 = 7,667 A

I_X = V/X_L = 230/12,57 = 18,3 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(7,667² + 18,3²) = 19,84 A

Ângulo de fase

A corrente do indutor está atrasada em relação a V, então a corrente total fica atrasada e o ângulo é positivo.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(18,3/7,667) = 67,27°

Resposta

φ = 67,27°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: B = 23,87 Hz

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,1·2,2·10⁻⁶)) = 339,3 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,1/(2,2·10⁻⁶)) = 14,21

Largura de banda

B = f₀/Q = 339,3/14,21 = 23,87 Hz

Resposta

B = 23,87 Hz

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