Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +5 µC e uma carga de −8 µC estão a 10 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 7,5 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +5 µCq₂ = −8 µCr₁ = 7,5 cmr₂ = 2,5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 10 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 30 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 20° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 30 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W(∞) armazenada no indutor depois que o circuito se estabiliza, em mJ.

V_s = 6 VR = 22 ΩL = 33 mH

W(∞) = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 15 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 9,48 V, exatamente 50 ms após o início. Com C = 100 µF, encontre a resistência R necessária.

V_s = 15 VV_th = 9,48 VT = 50 msC = 100 µF

R = kΩ

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 20 espiras, área 25 cm² e resistência 10 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,05 T para 0,35 T em 50 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 20A = 25 cm²B: 0,05 T → 0,35 TΔt = 50 msR = 10 Ω

I = mA

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 150 espiras, 8 cm × 5 cm, gira a 1200 rpm num campo uniforme de 0,1 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre a fem de pico E₀.

N = 150A = 8 cm × 5 cmB = 0,1 Tn = 1200 rpm

E₀ = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um indutor estão ligados em paralelo a uma fonte de 50 V (eficaz), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 20 mH

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,231 × 10⁸ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,075² = 7,991 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,025² = 1,151 × 10⁸ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |7,991 × 10⁶ + 1,151 × 10⁸| = 1,231 × 10⁸ N/C

Resposta

E = 1,231 × 10⁸ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 409 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 20° = 0,03571 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 20° = 0,2052 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2052·√(0,03571/8,99 × 10⁹) = 4,09 × 10⁻⁷ C = 409 nC

Resposta

q = 409 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,029 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 4 + 20 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 5·24/(5+24) = 4,138 Ω

R_eq = R₁ + 4,138 = 20 + 4,138 = 24,14 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/24,14 = 1,243 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,243·20 = 5,143 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,143/5 = 1,029 A

Resposta

I_R2 = 1,029 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,198 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 15 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 13,64 Ω

R₃ + 13,64 = 28,64 Ω

R₂ ∥ 28,64 = 3,51 Ω

R_eq = R₁ + 3,51 = 4 + 3,51 = 7,51 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/7,51 = 1,198 A

Resposta

I_R1 = 1,198 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W(∞) = 1,227 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1,5 ms

i(∞) = V_s/R = 6/22 = 0,2727 A

Energia armazenada

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·33·0,2727² = 1,227 mJ

Resposta

W(∞) = 1,227 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: R = 0,5002 kΩ

Constante de tempo necessária

9,48 = 15·(1 − e^−50/τ) → τ = 50/ln(15/(15 − 9,48))

τ = 50/0,9997 = 50,02 ms

Resistência

kΩ vezes µF dá milissegundos.

R = τ/C = 50,02/100 = 0,5002 kΩ

Resposta

R = 0,5002 kΩ

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 30 mA

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,35 − 0,05)·0,0025 = 0,00075 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,00075/0,05 = 0,3 V

Corrente

I = ε/R = 0,3/10 = 0,03 A

Resposta

I = 30 mA

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E₀ = 7,54 V

Velocidade angular e área

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,004 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 150·0,1·0,004·125,7 = 7,54 V

Resposta

E₀ = 7,54 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 2,624 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_L = ωL = 2π·500·0,02 = 62,83 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 50/20 = 2,5 A

I_X = V/X_L = 50/62,83 = 0,7958 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,5² + 0,7958²) = 2,624 A

Resposta

I = 2,624 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,342 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (144,8)²) = 146,2 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 50/146,2 = 0,342 A

Resposta

I = 0,342 A

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