Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +10 µC e uma carga de −8 µC estão a 30 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 15 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +10 µCq₂ = −8 µCr₁ = 15 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 8 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 4 µC está a 6 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 5 µC está a 5 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 5 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 5 ms.

V_s = 6 VR = 10 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 9 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 6,75 V, exatamente 10 ms após o início. Com R = 2,2 kΩ, encontre a capacitância C necessária.

V_s = 9 VV_th = 6,75 VT = 10 msR = 2,2 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 100 espiras, área 100 cm² e resistência 2 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,05 T para 0,45 T em 20 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 100A = 100 cm²B: 0,05 T → 0,45 TΔt = 20 msR = 2 Ω

I = A

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 150 espiras, 12 cm × 20 cm, gira a 3000 rpm num campo uniforme de 0,05 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre a fem de pico E₀.

N = 150A = 12 cm × 20 cmB = 0,05 Tn = 3000 rpm

E₀ = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 10 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 1000 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 7,192 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,15² = 3,996 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,15² = 3,196 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |3,996 × 10⁶ + 3,196 × 10⁶| = 7,192 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 7,192 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 164,5 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·4·8 × 10⁻¹²/0,06² = 79,91 N

F₂ = k·5·8 × 10⁻¹²/0,05² = 143,8 N

Soma vetorial

F = √(79,91² + 143,8²) = 164,5 N

Resposta

F = 164,5 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,8378 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 15 + 8 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 8·23/(8+23) = 5,935 Ω

R_eq = R₁ + 5,935 = 6 + 5,935 = 11,94 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/11,94 = 0,8378 A

Resposta

I_R1 = 0,8378 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,7 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 30 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 2,791 Ω

R₃ + 2,791 = 5,791 Ω

R₂ ∥ 5,791 = 2,683 Ω

R_eq = R₁ + 2,683 = 3 + 2,683 = 5,683 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/5,683 = 3,167 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 3,167·3 = 8,498 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,498/5 = 1,7 A

Resposta

I_R2 = 1,7 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,3929 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 47 mH / 10 Ω = 4,7 ms

i(∞) = V_s/R = 6/10 = 0,6 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,6·(1 − e^−5/4,7) = 0,3929 A

Resposta

i = 0,3929 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: C = 3,279 µF

Constante de tempo necessária

6,75 = 9·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(9/(9 − 6,75))

τ = 10/1,386 = 7,213 ms

Capacitância

kΩ vezes µF dá milissegundos.

C = τ/R = 7,213/2,2 = 3,279 µF

Resposta

C = 3,279 µF

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 10 A

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,45 − 0,05)·0,01 = 0,004 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,004/0,02 = 20 V

Corrente

I = ε/R = 20/2 = 10 A

Resposta

I = 10 A

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E₀ = 56,55 V

Velocidade angular e área

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

A = 0,024 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 150·0,05·0,024·314,2 = 56,55 V

Resposta

E₀ = 56,55 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,08898 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (125,2)²) = 134,9 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/134,9 = 0,08898 A

Resposta

I = 0,08898 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 164,2 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·47·10⁻⁶)) = 164,2 Hz

Resposta

f₀ = 164,2 Hz

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