Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo de uma carga pontual
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga
F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo
τ = RC | τ = L/R
Resposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Capacitor em CC
circuito aberto; vC não pode saltar
Indutor em CC
curto-circuito; iL não pode saltar
Regime permanente
t ≈ 5τ

Método

  1. Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
  2. Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
  3. Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
  4. Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo
B = μ0I/(2πr)
Centro de uma bobina plana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide longo
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio
F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga
F = |q|vB·sin θ
Movimento circular
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluxo
Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento
ε = BLv
Gerador
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indutância
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Seletor de velocidade e espectrômetro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

  1. Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
  2. Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
  3. Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
  4. Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frequência angular
ω = 2πf
Módulo e ângulo
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial
V = I·Z

Método

  1. Converta a frequência: ω = 2πf.
  2. Encontre cada reatância: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
  4. Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia
++5 µC++2 µCP20 cm

Uma carga de +5 µC e uma carga de +2 µC estão a 20 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 12 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q1 = +5 µCq2 = +2 µCr1 = 12 cmr2 = 8 cm
E = N/C
2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil
+ + + + + +− − − − − −e⁻4,5 × 10⁷ m/s4 cmE = 4500 N/C

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 4,5 × 10⁷ m/s. As placas têm 4 cm de comprimento e o campo entre elas é 4500 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 4,5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 4500 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩIR2​AR4​20 ΩB

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 15 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩIR2​AR4​15 ΩBR6​20 Ω

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩR4 = 15 ΩR5 = 4 ΩR6 = 20 Ω
IR2 = A
5.Transitórios RC e RLMédia
+−Vs​6 Vt = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 1 kΩC100 µF+−vC​

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor vC em t = 100 ms.

Vs = 6 VR1 = 3,3 kΩR2 = 1 kΩC = 100 µFt = 100 ms
vC = V
6.Transitórios RC e RLDifícil
+−Vs​10 Vt = 0R = 1 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 5 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor vC em t = 100 ms.

Vs = 10 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 5 Vt = 100 ms
vC = V
7.Campos magnéticos e induçãoMédia
IBF = ?

Um fio conduz uma corrente para a direita num campo magnético uniforme que aponta entrando na página. Clique no sentido da força magnética sobre o fio.

I: para a direitaB: entrando na página
  1. 1para cima na página
  2. 2para a direita
  3. 3para baixo na página
  4. 4para a esquerda
8.Campos magnéticos e induçãoDifícil
V = 2500 VB = 0,3 Tr = ?

Uma partícula alfa parte do repouso, é acelerado através de uma diferença de potencial de 2500 V e depois entra num campo magnético uniforme de 0,3 T em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória no campo.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,3 T
r = cm
9.Impedância CA e fasoresMédia
120 V60 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 10 µF

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 60 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 10 µF
φ = °
10.Impedância CA e fasoresDifícil
1 Vf0​R = 20 ΩL = 5 mHC = 1 µF

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 1 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz VL sobre o indutor.

V = 1 V (rms)R = 20 ΩL = 5 mHC = 1 µF
VL = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 312153 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E1 = k·5 × 10⁻⁶/0,12² = 3,122 × 10⁶ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0,08² = 2,809 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |3,122 × 10⁶ − 2,809 × 10⁶| = 312153 N/C

Resposta

E = 312153 N/C
2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 0,3127 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,04/4,5 × 10⁷ = 8,889 × 10⁻¹⁰ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4500/9,109 × 10⁻³¹ = 7,914 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·7,914 × 10¹⁴·(8,889 × 10⁻¹⁰)² = 0,0003127 m = 0,3127 mm

Resposta

y = 0,3127 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 2,173 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​20 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 3 + 20 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 4·23/(4+23) = 3,407 Ω
Req = R1 + 3,407 = 6 + 3,407 = 9,407 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 24/9,407 = 2,551 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2,551·6 = 8,693 V
IR2 = VA/R2 = 8,693/4 = 2,173 A

Resposta

IR2 = 2,173 A
4.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 0,9967 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 15 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAR4​15 ΩBR6​20 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 4 + 20 = 24 Ω
R4 ∥ 24 = 9,231 Ω
R3 + 9,231 = 29,23 Ω
R2 ∥ 29,23 = 4,978 Ω
Req = R1 + 4,978 = 15 + 4,978 = 19,98 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 24/19,98 = 1,201 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1,201·15 = 5,98 V
IR2 = VA/R2 = 5,98/6 = 0,9967 A

Resposta

IR2 = 0,9967 A
5.Transitórios RC e RL

Resposta: vC = 1,016 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar Rth; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

Rth = R1 ∥ R2 = 3,3·1/(3,3 + 1) = 0,7674 kΩ
vC(∞) = 6·1/(3,3 + 1) = 1,395 V

Constante de tempo

τ = Rth·C = 0,7674·100 = 76,74 ms

Curva de carga

vC(t) = 1,395·(1 − e−100/76,74) = 1,016 V

Resposta

vC = 1,016 V
6.Transitórios RC e RL

Resposta: vC = 8,161 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 10 + (5 − 10)·e−t/τ

Tensão no instante dado

vC(100) = 10 + (−5)·e−100/100 = 8,161 V

Resposta

vC = 8,161 V
7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para cima na página

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

I: para a direita, B: entrando na página

Sentido da força

para cima na página

Resposta

F: para cima na página
8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 3,394 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade após a aceleração

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·2500/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 491003 m/s

Raio no campo

r = mv/(|q|B) = 0,03394 m = 3,394 cm

Resposta

r = 3,394 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, então íons mais pesados de mesma carga descrevem círculos maiores; é assim que se separam isótopos.

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = −83,33 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−171)²) = 172,2 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−171/20) = −83,33°

Resposta

φ = −83,33°
10.Impedância CA e fasores

Resposta: VL = 3,536 V

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·1·10⁻⁶) = 14142 rad/s
I = V/R = 1/20 = 0,05 A

Tensão sobre o indutor

XL = ω₀L = 14142·0,005 = 70,71 Ω
VL = I·XL = 0,05·70,71 = 3,536 V

Resposta

VL = 3,536 V

Isso é Q = 3,536 vezes a tensão da fonte.

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