Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +2 µC e uma carga de +3 µC estão a 60 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 45 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +2 µCq₂ = +3 µCr₁ = 45 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 8 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 6 µC está a 8 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 3 µC está a 4 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 3 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 5 ms.

V_s = 6 VR = 20 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está aberta há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave fecha e coloca R₂ em curto. Quanto tempo após t = 0 a corrente do indutor atinge 0,9 A? Encontre t.

V_s = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩL = 68 mH

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma partícula alfa movendo-se a 4 × 10⁶ m/s entra em um campo magnético uniforme em ângulo reto e descreve um círculo de raio 10,37 cm. Encontre a densidade de fluxo magnético B.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sr = 10,37 cm

B = T

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Num seletor de velocidade, campos cruzados E = 4 × 10⁴ V/m e B = 0,05 T deixam passar em linha reta apenas íons de uma única velocidade. Encontre essa velocidade v.

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0,05 T

v = m/s

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 100 Hz. Encontre a potência ativa P absorvida da fonte.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

P = W

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 10 Ω, L = 2 mH e C = 0,1 µF. Encontre sua largura de banda B (a largura da faixa entre as frequências de meia potência), em Hz.

R = 10 ΩL = 2 mHC = 0,1 µF

B = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,11 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,45² = 88790 N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,15² = 1,199 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |88790 − 1,199 × 10⁶| = 1,11 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 1,11 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 150,8 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·6·8 × 10⁻¹²/0,08² = 67,42 N

F₂ = k·3·8 × 10⁻¹²/0,04² = 134,8 N

Soma vetorial

F = √(67,42² + 134,8²) = 150,8 N

Resposta

F = 150,8 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 8,654 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 3·23/(3+23) = 2,654 Ω

R_eq = R₁ + 2,654 = 6 + 2,654 = 8,654 Ω

Resposta

R_eq = 8,654 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 3,465 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 8 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 3,611 Ω

R₃ + 3,611 = 7,611 Ω

R₂ ∥ 7,611 = 4,657 Ω

R_eq = R₁ + 4,657 = 4 + 4,657 = 8,657 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/8,657 = 3,465 A

Resposta

I_R1 = 3,465 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,2311 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3,4 ms

i(∞) = V_s/R = 6/20 = 0,3 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,3·(1 − e^−5/3,4) = 0,2311 A

Resposta

i = 0,2311 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 3,474 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 os dois resistores estão na malha; depois a chave fechada desvia R₂.

i(0) = 15/(10 + 20) = 0,5 A

i(∞) = 15/10 = 1,5 A

τ = L/R = 68/10 = 6,8 ms

i(t) = 1,5 + (0,5 − 1,5)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

e^−t/τ = (0,9 − 1,5)/(0,5 − 1,5) = 0,6

t = 6,8·ln(1,667) = 3,474 ms

Resposta

t = 3,474 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: B = 0,8 T

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Campo a partir do raio

B = mv/(|q|r) = 6,645 × 10⁻²⁷·4 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,1037) = 0,8 T

Resposta

B = 0,8 T

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: v = 800000 m/s

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0,05 = 800000 m/s

Resposta

v = 800000 m/s

9.Impedância CA e fasores

Resposta: P = 0,4972 W

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 94,25 Ω, X_C = 723,4 Ω

Impedância

|Z| = √(80² + (−629,2)²) = 634,2 Ω

Potência ativa

Indutores e capacitores só armazenam e devolvem energia; o resistor absorve toda a potência ativa.

I = 50/634,2 = 0,07883 A

P = I²·R = 0,07883²·80 = 0,4972 W

Resposta

P = 0,4972 W

10.Impedância CA e fasores

Resposta: B = 795,8 Hz

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,1·10⁻⁶)) = 11254 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,002/(0,1·10⁻⁶)) = 14,14

Largura de banda

B = f₀/Q = 11254/14,14 = 795,8 Hz

Resposta

B = 795,8 Hz

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