Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +2 µC e uma carga de +4 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 25 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +2 µCq₂ = +4 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 2 × 10⁷ m/s. As placas têm 3 cm de comprimento e o campo entre elas é 3700 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 3700 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 5 ms.

V_s = 24 VR = 22 ΩL = 68 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 150 ms.

V_s = 30 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 47 µFt = 150 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 500 espiras, área 50 cm² e resistência 4 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0 T para 0,2 T em 40 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 500A = 50 cm²B: 0 T → 0,2 TΔt = 40 msR = 4 Ω

I = A

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

A corrente em um indutor de 5 mH varia de forma constante de 2 A para 4 A em 50 ms. Encontre o módulo da fem autoinduzida ε.

L = 5 mH2 A → 4 AΔt = 50 ms

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um capacitor estão ligados em paralelo a uma fonte de 120 V (eficaz), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩC = 100 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 50 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 287680 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,25² = 287680 N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,25² = 575360 N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |287680 − 575360| = 287680 N/C

Resposta

E = 287680 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 0,7321 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,03/2 × 10⁷ = 1,5 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3700/9,109 × 10⁻³¹ = 6,507 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·6,507 × 10¹⁴·(1,5 × 10⁻⁹)² = 0,0007321 m = 0,7321 mm

Resposta

y = 0,7321 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,4855 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 20 + 15 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 3·35/(3+35) = 2,763 Ω

R_eq = R₁ + 2,763 = 20 + 2,763 = 22,76 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/22,76 = 0,5272 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,5272·20 = 1,457 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,457/3 = 0,4855 A

Resposta

I_R2 = 0,4855 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 3,324 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 12 + 10 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 8,919 Ω

R₃ + 8,919 = 10,92 Ω

R₂ ∥ 10,92 = 2,928 Ω

R_eq = R₁ + 2,928 = 5 + 2,928 = 7,928 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/7,928 = 4,541 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 4,541·5 = 13,29 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13,29/4 = 3,324 A

Resposta

I_R2 = 3,324 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 4,761 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3,091 ms

i(∞) = V_s/R = 24/22 = 1,091 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 24·e^−5/3,091 = 4,761 V

Resposta

v_L = 4,761 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 8,938 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 30·4,7/(3,3 + 4,7) = 17,63 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 4,7·47 = 220,9 ms

Descarga

v_C(t) = 17,63·e^−150/220,9 = 8,938 V

Resposta

v_C = 8,938 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 3,125 A

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,2 − 0)·0,005 = 0,001 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,001/0,04 = 12,5 V

Corrente

I = ε/R = 12,5/4 = 3,125 A

Resposta

I = 3,125 A

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 0,2 V

Fem autoinduzida

A fem se opõe à variação da corrente (Lenz), então seu sinal é oposto ao de ΔI; o valor é L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,005·2/0,05 = 0,2 V

Resposta

ε = 0,2 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 16,23 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 120/20 = 6 A

I_X = V/X_C = 120/7,958 = 15,08 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(6² + 15,08²) = 16,23 A

Resposta

I = 16,23 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 31,83 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·100·10⁻⁶)) = 31,83 Hz

Resposta

f₀ = 31,83 Hz

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